La pregunta es la siguiente:
Hay 7 clavijas rojas, 7 negras y 7 verdes en una caja. Elige 5 al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya elegido al menos un color?
Mi opinión es que esto podría ocurrir de dos maneras. O bien los 5 pines elegidos eran todos del mismo color, o los 5 pines elegidos eran de dos colores diferentes. En cada caso, se excluye al menos un color.
Evidentemente, hay $\binom{21}{5}$ formas de elegir los 5 pines de la caja.
En el primer caso, elegimos los pines para que todos tengan el mismo color. Esto equivale a $$\binom{7}{5} + \binom{7}{5} + \binom{7}{5}= 3\binom{7}{5}.$$ En el segundo caso, los 5 pines se eligen de dos colores, excluyendo uno. Así, tenemos $14$ pines para elegir y nosotros elegimos $5.$ Podemos elegir entre el rojo y el negro, el negro y el verde, o el rojo y el verde. Esto equivale entonces a $$\binom{14}{5} + \binom{14}{5} + \binom{14}{5} = 3\binom{14}{5}.$$ La respuesta final sería entonces $$\frac{3\binom{7}{5}+3\binom{14}{5}}{\binom{21}{5}} \approx 2982.$$ ¿Sería esta la respuesta y el enfoque correctos? Gracias de antemano.
