Vamos a intentar resumir el ya dado respuestas, pero empezando desde el principio.
Sintaxis
Por lo general, nos expresar las cosas mediante el uso de finito de cadenas de símbolos tomados de un determinado conjunto. La manera de formalizar esta idea es definir el lenguaje como el conjunto desde el que se recoge a estos símbolos.
Deje ${\cal V}$ ser un vacío y lo suficientemente grande como conjunto. Este será el conjunto de variables de la lengua.
Vamos
$$\mathrm{BIN}=\{\vee,\wedge,\implies,\iff\}$$
el conjunto de conectivas binarias.
A continuación, definimos el lenguaje de $L$ como el conjunto
$$L:={\cal V}\cup \mathrm{BIN}\cup \{\neg\}\cup \{),(\}$$
estamos de acuerdo en que todos los conjuntos que participan son pares distintos. Yo creo que todo esto símbolos son auto explicativas. El significado de su intención es la de costumbre.
A partir de este lenguaje podemos formar palabras, por ejemplo, si usted toma $A,B$ variables, a continuación,
$$A,\quad )B\neg,\quad (\neg A\vee B)$$
son palabras.
Intuitivamente, las palabras que usaría para expresar algo "útil" se denominan fórmulas. Por ejemplo, tal vez todos estamos de acuerdo en que la segunda palabra en el ejemplo anterior no es una fórmula. Para ser precisos, vamos a ${\cal W}(L)$ el conjunto de las palabras de $L$. El conjunto de fórmulas de $L$ se define como el menor subconjunto $X$ ${\cal W}(L)$ que satisface:
- contiene ${\cal V}$
- si $F\in X$ $\neg F\in X$
- si $F\in X$ $G\in X$ a continuación, para todos $\alpha\in\mathrm{BIN}$, $(F\mathbin{\alpha} G)\in X$
El conjunto de las fórmulas de la lengua $L$ se llama ${\cal F}(L)$. Hay un equivalente inductivo manera de definir ${\cal F}(L)$.
A continuación, puede probar para decidir si una fórmula es "true" o "false". Para ello se consideran los mapas de $\delta:{\cal V}\to \{0,1\}$ y, a continuación, extiende a un mapa de $\bar{\delta}$ definido en ${\cal F}(L)$ en una inductivo de la moda. Por ejemplo, una vez $\bar{\delta}$ está definido por alguna de las fórmulas de $A,B$
$$\bar{\delta}((A\wedge B))=\delta{A}\cdot\delta{B}$$
que intuitivamente dice que la fórmula $(A\wedge B)$ es falso siempre $A$ o $B$ es falso.
De esta manera, se puede definir tautologías entre otras cosas, y el estudio de las relaciones entre fórmulas y teorías (aquí la teoría es un conjunto de fórmulas), por ejemplo, usted podría querer decir cuando dos fórmulas son esencialmente los mismos.
El estudio de todas estas cosas es llamado cálculo proposicional.
Pero la matemática es bastante más complicado, por lo que tenemos más a lo abstracto.
Deje $\cal C$ un conjunto no vacío, una de primer orden lenguaje $L$ es un conjunto
$$\begin{align*}
L &:={\cal V}\cup \{\forall,\exists\}\cup \mathrm{BIN}\cup \{\neg\}\cup \{),(\}\\
&\phantom{{}:=}\cup{\cal C}\cup \bigcup_{i=1}^\infty \cal{F}_i \cup \bigcup_{i=1}^\infty \cal{R}_i
\end{align*}$$
donde todos los conjuntos que participan son disjuntos a pares y:
- para cada una de las $n\geq 1$ los elementos de ${\cal F}_n$/${\cal R}_n$ se llama $n$-ary función/relación de símbolos.
- los elementos de $\cal C$ se llama constante de símbolos.
- Observe que (si está presente) el símbolo de la igualdad de $\simeq$ es un elemento de $\cal{R}_2$.
Los elementos de la primera fila de arriba se llama lógica de los símbolos, ya que son comunes a todos de primer orden idiomas. Cuando se especifica un primer orden de idioma sólo se debe decir lo que el no-lógicos son símbolos. Por ejemplo, para el lenguaje de los grupos a los que necesitan un constante símbolo, decir $e$, y una función binaria símbolo, decir $\ast$. Este lenguaje sería entonces
$$L_G=\{e,\ast\}.$$
Como antes, puede definir la "utilidad" de las palabras de este lenguaje, y se pueden definir fórmulas. Pero aquí debemos ser más cuidadosos. En primer lugar, debemos definir los términos que las variables, constantes o "válida" combinaciones de estos con los símbolos de la función. Por ejemplo, con $L_G$,
$$v_0*v_1$$
sería un término.
Luego debemos definir fórmulas atómicas que son términos o "válida" combinaciones de estos en relación con los símbolos. De nuevo con $L_G$,
$$v_0*v_1\simeq e$$
sería una fórmula atómica (cuando no se indica lo contrario, todas las lenguas tienen el signo de igualdad).
Y una de las fórmulas atómicas podemos definir las fórmulas. Por ejemplo
$$\forall v_0(v_0*v_1\simeq e),\quad v_1\simeq e\vee \exists v_0(v_0\simeq v_1).$$
Esta fórmulas se llama predicado fórmulas.
Decimos que una variable se producen en una fórmula si aparecen en la fórmula. Intuitivamente ocurrencia de una variable es acotado si "es en el ámbito de algunas cuantificador", y es libre de otra manera. Puedes ver ejemplos en las fórmulas anteriores. Una fórmula es cerrado si no tienen libertad de ocurrencias de las variables.
Una teoría de la $T$ de primer orden lenguaje $L$ es un conjunto de fórmulas cerradas de $L$.
La semántica
Bien, pero esta vez ¿cómo se puede decir que las fórmulas son verdaderas o falsas? ¿Cómo dar sentido a las fórmulas?
Esto se hace con las estructuras. Dado un primer orden lenguaje de una $L$-estructura es un conjunto no vacío, además de algunas funciones y relaciones que se definen en ella para dar interpretaciones a las funciones, relaciones y constantes de símbolos.
Por ejemplo, pensemos en el lenguaje:
$$L=\{R,s\}$$
donde $R$ es una relación binaria y $s$ es una función binaria. Entonces
$${\cal M}=\langle\Bbb R,\leq,+\rangle$$
es una $L$-estructura.
En las estructuras se pueden interpretar las fórmulas atómicas, pero esta interpretación depende de la interpretación de las variables (si está presente) que le dan. Por ejemplo, con la lengua y $L$-estructura atómica en la fórmula $s(v_0,v_0)Rv_1$ es
$$1+1\leq 1$$
al $v_0$ $v_1$ son interpretados como $1$ y es
$$0+0\leq 1$$
al $v_0$ se interpreta como $0$ $v_1$ 1.
Vamos a concentrar en cerrado fórmulas de ahora. Dado un primer orden lenguaje de las estructuras de decidir si es o no un cerrado fórmula es verdadera o falsa. Intuitivamente una $L$estructura $\cal M$ satisface cerrado fórmula $F$ si lo que se expresa por la fórmula de hecho es cierto en la estructura. Por ejemplo, pensemos en el lenguaje
$$L=\{R,c\}$$
donde $R$ es una relación binaria y $c$ es una constante símbolo, y el cerrado de la fórmula
$$F=\forall v(vRc).$$
Considere la posibilidad de la $L$-estructuras
$${\cal M}=\langle \Bbb R,\geq,0\rangle,\qquad {\cal N}=\langle \Bbb N, \geq, 1\rangle.$$
A continuación, observe que $F$ no está satisfecho en $\cal{M}$ ya que por ejemplo,$-1\not\geq 0$, pero $\cal{N}$ no satisface $F$ como se puede ver. En este caso escribimos $${\cal N}\models F$$
y decimos que $\cal{N}$ es un modelo para $F$.
Ahora, la corrección de primer orden lenguaje $L$.
- Dada una teoría de la $T$ de un idioma $L$ decimos que un $L$estructura $\cal{M}$ es un modelo para $T$ si para cada $F\in T$, ${\cal M}\models F$.
- Decimos que una fórmula $F$ es semántica consecuencia de una teoría de la $T$, y escribir $T\vdash^\ast F$ si para cada una de las $L$estructura $\cal{M}$
$${\cal M}\models T\quad\text{implies}\quad {\cal M}\models F.$$
- Una teoría de la $T$ es universalmente válida si alguna de las $L$-la estructura es un modelo para $T$.
En el otro lado, el concepto de prueba puede ser formalizado como bien. Dada una teoría de la $T$ $L$ una derivación de una fórmula $F$ es una secuencia finita de fórmulas de $(F_0,\ldots,F_n)$ $F_n=F$ e donde cada fórmula $F_i$ satisface:
- $F_i\in T$ o
- $F_i$ es una tautología (obtenidos mediante la sustitución de las variables en las tautologías de cálculo proposicional por el predicado de fórmulas) o
- $F_i$ está en uno de los esquemas de axioma (que son algunos de los conjuntos especiales de fórmulas universalmente válidas) o
- $F_i$ es deducida a partir de fórmulas anteriores en la secuencia de algunas de las reglas de inferencia (por ejemplo, una regla de inferencia es _modus ponens: de $A$ $A\implies B$ puede deducir $B$).
Decimos que un cerrado fórmula $F$ es sintáctica consecuencia de una teoría de la $T$ si $F$ puede ser derivada de la $T$. En ese caso escribimos $T\vdash F$.
Una manera de expresar el teorema de completitud de primer orden de la lógica, es decir que se sintácticas o ser consecuencia semántica es la misma cosa. Que es:
Dada una teoría de la $T$ y una fórmula $F$$L$,
$$T\vdash^\ast F\quad\text{if and only if}\quad T\vdash F.$$
Es decir, si quieres una prueba de que una fórmula $F$ no puede ser derivada de una teoría de la $T$ es suficiente para presentar un modelo de $T$ que no es un modelo de $F$.
El lenguaje de los grupos y la teoría de grupos.
Vamos
$$L_G'=\{\ast\}\quad\text{and}\quad L_G=\{e,\ast\}$$
donde $*$ es una función binaria y $e$ es una constante símbolo.
Observe que $L_G'\subseteq L_G$, y que el $L_G'$-estructuras son de la forma
$${\cal M'}=\langle M,+\rangle$$ where $+$ is a binary function defined on $M$ and is of course the interpretation of $\ast$ in $\cal M'$. But since $M$ must be nonempty there is a element $m$ that could be used as the interpretation of $c$. Que es
$${\cal M}=\langle M,m,+\rangle$$
es una $L_G$-estructura.
Cuando se tienen dos idiomas $L'\subseteq L$ e una $L'$estructura $\cal M'$ y se mantiene el mismo conjunto subyacente, las funciones, las relaciones y constantes que ya tiene, y añadir algunas nuevas constantes, funciones y relaciones con el fin de obtener un $L$-estructura $\cal M$, $\cal M$ se llama un enriquecimiento de $\cal M'$.
Debe ser intuitivamente claro, que si $F$ es un cerrado fórmula de $L'$
$${\cal M'}\models F\qquad\text{iff}\qquad {\cal M}\models F.$$
Ahora, vamos a $A$ ser cerrada fórmula de $L_G$ $L_G'$ dada por
$$A=\forall v\forall w\forall x(v\ast(w\ast x)\simeq (v\ast w)\ast x).$$
Vamos
$$T_G=\{A,\forall x(x\ast e\simeq e\ast x\simeq x),\forall x\exists y(x\ast y\simeq y\ast x\simeq e) \}.$$
Inmediatamente reconocer esto como los axiomas de grupos (aviso al abuso de la lengua con la $\simeq$, debe haber alguna $\wedge$s).
Pero lo que si intenta escribir algunos razonable axiomas para los grupos con el idioma $L_G'$?
Aquí usted no tiene la constante símbolo $e$, por lo que debe agregar algo como:
$$\begin{gather*}
Id=\exists u \forall x(x\ast u\simeq u\ast x\simeq u)\\
In=\forall x \exists y\forall w(w\ast (x\ast y)\simeq w\ast (y\ast x)\simeq w)
\end{reunir*}$$
Vamos $$T_G'=\{A,Id,In\}.$$ If you start with $L_G'$ and $T_G'$, it turns out that the formula that says that the identity element is unique can be deduced from $T_G'$. So you can enrich the language to $L_G$ and then the models of $T_G'$ will be (with the right interpretation of $e$) exactly the models of $T_G$.
Y, como se puede ver las fórmulas de $T_G$ son más simples. De hecho, con $L_G$ es posible tener una teoría de grupos con una sola elegante axioma (Esto siempre es posible, ya que la teoría es finito y puede tomar el conjunto de los axiomas, pero ese no es el axioma de que estoy hablando: la mirada).
Así es más fácil de decir las cosas, si su lenguaje es más rico.
Para su ejercicio, para asegurarse de que se supone debe utilizar $L_G$$T_G$. Así que usted debe seguir lo que se da en las otras respuestas.
Espero que esto ayude.
