Si $\sin A+\sin^2 A=1$ y $a\cos^{12} A+b\cos^{8} A+c\cos^{6} A-1=0$

Question

Si $\sin A+\sin^2 A=1$ y $a\cos^{12} A+b\cos^{8} A+c\cos^{6} A-1=0$ .

Encuentre el valor de $2b + \dfrac {c}{a}$ .

Mi intento: $$\sin A+\sin^2 A=1$$ $$\sin A + 1 - \cos^2 A=1$$ $$\sin A=\cos^2 A$$

Ahora,

$$a(\cos^2 A)^{6}+b(\cos^2 A)^{4}+c(\cos^2 A)^{3}=1$$ $$a\sin^6 A+ b\sin^4 A+c\sin^3 A=1$$

¿Cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

Lo escribo paso a paso:

Con $\sin A+\sin^2 A=1$ tenemos $\sin A=1-\sin^2 A=\cos^2A$ así que \begin {eqnarray} && a \cos ^{12} A+b \cos ^{8} A+c \cos ^{6} A-1=0 \\ && a( \cos ^2A)^6+b( \cos ^2A)^4+c( \cos ^2A)^3-1=0 \\ && a \sin ^6A+b \sin ^4A+c \sin ^3A-1=0 \\ && a(1- \cos ^2A)^3+b(1- \cos ^2A)^2+c \sin A(1- \cos ^2A)-1=0 \\ && a(1- \sin A)^3+b(1- \sin A)^2+c \sin A(1- \sin A)-1=0 \\ && a(1-3 \sin A+3 \sin ^2A- \sin ^3A+b(1-2 \sin A+ \sin ^2A)+c( \sin A- \sin ^2 A)-1=0 \\ && a-3a \sin A+3a \sin ^2A-a \sin ^3A+b-2b \sin A+b \sin ^2A+c \sin A-c \sin ^2 A-1=0 \\ && a-3a \sin A+3a \sin ^2A-a \sin ^3A+b-2b \sin A+b \sin ^2A+c \sin A-c \sin ^2 A-1=0 \\ && a-3a \sin A+3a(1- \cos ^2A)-a \sin A(1- \cos ^2A)+b-2b \sin A+b(1- \cos ^2A)+c \sin A-c(1- \cos ^2A)-1=0 \\ && a-3a \sin A+3a(1- \sin A)-a \sin A(1- \sin A)+b-2b \sin A+b(1- \sin A)+c \sin A-c(1- \sin A)-1=0 \\ && a-3a \sin A+3a-3a \sin A-a \sin A+a \sin ^2A+b-2b \sin A+b-b \sin A+c \sin A-c+c \sin A-1=0 \\ && a-3a \sin A+3a-3a \sin A-a \sin A+a-a \sin A+b-2b \sin A+b-b \sin A+c \sin A-c+c \sin A-1=0 \\ && (a+3a+a+b+b-c-1)+(-3a-3a-a-a-2b-b+c+c) \sin A=0 \\ && (5a+2b-c-1)+(-8a-3b+2c) \sin A=0 \end {eqnarray}

Answer 2

$$\sin A= \cos ^2A→\sin^2A=\cos^4A→1-\cos^2A=\cos^4A\\ (\cos^2A)^2+(\cos^2A)-1=0→\cos^2A=\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}$$

Así que,

$$a\left(\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}\right)^6+b\left(\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}\right)^4+c\left(\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}\right)^3=1\\ a(9-4\sqrt{5})+b\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)+c(\sqrt{5}-2)=1\\ (9a+7b/2-2c)+(-4a-3b/2+c)\sqrt{5}=1$$

Tal vez la pregunta quiera:

$$9a+\frac{7b}{2}-2c=1→18a+7b-4c=2\\ -4a-\frac{3b}{2}+c=0→8a+3b=2c$$

Pero en ese caso tenemos:

$$b=2-2a\\ c=a+3$$

Y luego

$$2b+\frac{c}{a}=5-4a+\frac{3}{a}$$

y el resultado depende de $a$ . Por lo demás, no tengo otra idea.

Answer 3

@MyGlasses .. En la tercera línea de abajo u olvidó sombrero hay $(-a)$ 2 veces no sólo una vez en su intento de demostrar la identidad requerida, esto cometió un error en su respuesta.

Answer 4

SUGERENCIA:

$$\cos^4A=(\cos^2A)^2=\cdots=1-\cos^2A\iff\cos^4A+\cos^2A-1=0$$

Dividir $a\cos^{12}A+b\cos^8A+c\cos^8A-1$ por $\cos^4A+\cos^2A-1$