Grupo finito $G$ tiene $61$ Sylow $3$ -subgrupos

Question

Supongamos que el grupo finito $G$ tiene $61$ Sylow $3$ -subgrupos. Entonces quiero demostrar que existen dos Sylow $3$ -subgrupos $P$ y $Q$ Satisfaciendo a $|P: P\cap Q|=3 $ .

Desde $n_{3}=61$ , entonces el orden de $G$ debe ser $61.3^{n}.p_{1}^{a_{1}}\dots p_{k}^{a_{k}}$ . Pero no pude conectar con $61$ para demostrar la existencia de $P$ y $Q$ con la característica deseada. ¿Qué es lo primero que debo mirar para probar esta afirmación?

Answer 1

Consideremos la acción de conjugación de un Sylow $3$ -subgrupo $P$ en el conjunto de todos los Sylow $3$ -subgrupos.

Hay un punto fijo, a saber $P$ y las otras órbitas tienen una longitud $3^k$ para algunos $k>0$ .

Desde $60$ no es divisible por $9$ las órbitas restantes no pueden tener todas una longitud divisible por $9$ por lo que debe haber al menos una órbita de longitud $3$ . Sea $Q$ esté en dicha órbita. Entonces el estabilizador de $Q$ en $P$ es $N_P(Q) = P \cap Q$ . Así que $|P:P \cap Q|=3$ .