Convergencia del operador de traslación en $L^2(\mathbb{R}, e^{-x^2}dx)$

Question

Para $t \ge 0$ , dejemos que $T_t : L^2(\mathbb{R}, e^{-x^2}dx) \to L^2(\mathbb{R}, e^{-x^2}dx)$ sea el operador de traslación dado por $f(x) \mapsto f(x + t)$ . Me gustaría:

1. Encuentre la norma de $T_t$ .

2. Determinar si $T_t$ converge a un operador en las topologías débil, fuerte o uniforme, como $t \to \infty$ .

Se trata de un problema de deberes, por lo que agradecería sugerencias y pistas únicamente.

He utilizado este post anterior, Convergencia del operador de traslación para ayudarme a responder a esta pregunta cuando consideremos $T_t$ como operador $L^2(\mathbb{R}, dx) \to L^2(\mathbb{R}, dx)$ . En esta situación, $||T_t|| = 1$ y $T_t$ sólo converge débilmente.

Pero ahora estoy encontrando el problema modificado considerablemente más difícil. De hecho, incluso estoy teniendo problemas para mostrar $T_t$ está acotado (es decir, $||f(x + t)||_{L^2(\mathbb{R}, e^{-x^2}dx)} \le C || f(x)||_{L^2(\mathbb{R}, e^{-x^2}dx)}$ ). ¿Hay alguna forma inteligente de reescribir

$$\int_{\mathbb{R}}|f(x + t)|^2 e^{-x^2} dx$$

en términos de $\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^2 e^{-x^2} dx$ ? Creo que esto es lo que tengo que lograr para mostrar la acotación y conseguir un manejo de la norma de $T_t$ . Además, se agradece cualquier pista sobre la convergencia en las distintas topologías.

Answer 1

Operadores $T_t$ son ilimitadas para $t\neq 0.$

Primero demostramos que $T_t, t>0$ no está definida en todo el espacio de Hilbert.

Escriba $||T_tf||^2=\int_{\mathbb{R}}|f(x + t)|^2 e^{-x^2} dx=\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^2 e^{-(x-t)^2} dx=e^{-t^2}\int_{\mathbb{R}}e^{2tx}|f(x)|^2 e^{-x^2} dx.$

Entonces $\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^2 e^{-x^2} dx<\infty$ no implica $\int_{\mathbb{R}}e^{2tx}|f(x)|^2 e^{-x^2} dx<\infty$

Por ejemplo $f(x)=e^{-tx}e^{x^2/2},x>0,\ f(x)=0,\ x\leq 0.$ Entonces $f\in L^2(\mathbb R,e^{-x^2}dx)$ pero no está en el dominio de $T_t.$

Consideremos ahora la secuencia $f_n(x)=f(x)$ en $(0,n)$ y $0$ de lo contrario. Entonces $f_n$ está acotado por la norma y $||T_tf_n||\to\infty, n\to\infty.$