Isomorfismo de un campo de extensión de un campo de grado de trascendencia finito

Question

La siguiente es la proposición (1.4) del libro de Mumford Geometría algebraica

Si $\mathbb C$ tiene un grado de trascendencia infinito sobre $k$ entonces cada variedad tiene un $k$ -punto genérico.

En la prueba

Entonces $L$ es un campo de extensión de $k$ de grado de trascendencia finito. Pero cualquier campo de este tipo es isomorfo a un subcampo de $\mathbb C$ . es decir, existe un monomorfismo $\phi : L \rightarrow {\mathbb C}$ .

Es cualquier campo de extensión de $k$ de grado de trascendencia finito isomorfo a un subcampo de $\mathbb C$ ? Si es así, ¿cómo lo demuestran?

Answer 1

Sí, lo es.

Supongamos que el grado de trascendencia de $L$ es igual a $n$ y elija $n$ elementos algebraicamente independientes $\xi_1,...,\xi_n \in \Bbb C \setminus k$ . Tenemos un isomorfismo $$k(X_1,...,X_n) \cong k(\xi_1,...,\xi_n) \subset \Bbb C.$$ Ahora, por definición, $L$ es una extensión algebraica finita de $k(X_1,...,X_n)$ por lo que es isomorfo a una extensión algebraica finita $L'$ de $k(\xi_1,...,\xi_n) \subset \Bbb C$ . Pero cada uno de estos $L'$ está necesariamente contenida en $\Bbb C$ y hemos terminado.