Si $u_n \rightharpoonup u$ en $W$ y $W \subset C$ entonces $u_n \rightharpoonup u$ en $C$ ?

Question

Dejemos que $W \subset C$ sean espacios de Banach con incrustación continua aquí.

Si $u_n \rightharpoonup u$ en $W$ y $W \subset C$ entonces es cierto que $u_n \rightharpoonup u$ en $C$ para la misma secuencia (no una subsecuencia)?

He visto este resultado utilizado donde $W=L^2(0,T;H^1) \cap H^1(0,T;H^{-1})$ y $C=C([0,T];L^2)$ .

Answer 1

Sí. Si la incrustación $j \colon W \hookrightarrow C$ es continua cuando los dos espacios están dotados de sus respectivas topologías normativas, también es continua cuando ambos espacios están dotados de sus topologías débiles, y eso significa que las redes débilmente convergentes se mapean en redes débilmente convergentes. En particular, si la red débilmente convergente es una secuencia, su imagen es una secuencia débilmente convergente.

Answer 2

Sí. Para ser explícitos, dejemos $T:W\to C$ sea un operador lineal acotado (no es necesario que sea inyectivo). Para todo funcional lineal $f\in C^*$ tenemos $f\circ T\in W^*$ . Desde $u_n$ convergen débilmente, $f(T(u_n))\to f(T(u))$ . Pero esto dice precisamente que $T(u_n)$ convergen a $T(u)$ débilmente.