Estaba leyendo este problema sobre los ordinales. Estoy siguiendo la teoría de Z.F.
Dejemos que $A$ sea un conjunto no vacío de ordinales. Demostrar que si $\cup A \notin A$ entonces $\cup A$ es un ordinal límite, es decir $\cup A $ es no vacío pero que es directamente, y además no es sucesor de ningún ordinal.
He demostrado que $ A\subset \cup A$ . De la siguiente manera:
si $\alpha \in A$ ya que $\cup A \notin A$ entonces $ \alpha \ne \cup A$ y como $\cup A$ es un ordinal, entonces $\alpha \in \cup A$ (ya que si $\cup A \in \alpha$ $\wedge$ $\alpha \in A$ $\Rightarrow$ $\cup A \in \cup A$ una contradicción si consideramos el axioma de regularidad).Así tenemos que $ A \subset \cup A$
Observación: Estoy utilizando el hecho de que $\cup A$ es un ordinal, y también que dados dos ordinales $\alpha$ , $\beta$ son siempre comparables, en el sentido de que algo de esto ocurre $\alpha \in \beta$ , $\beta \in \alpha$ o $ \alpha=\beta$ . Y esto es un teorema.
No sé qué puedo hacer con la otra inclusión $ A \subset \cup A$ es fácil demostrar que un conjunto A es $\in$ -transitivo ( $x\in A$ $\wedge y\in x$ $\Rightarrow y\in A$ ) si y sólo si $\cup A \subset A$ pero siempre es cierto que un conjunto de ordinales es siempre $\in$ -¿o esto ocurre sólo en este caso? Por favor, quiero un contraejemplo o la prueba de esa parte )= , porque estoy un poco confundido
