Demuestre que exactamente la mitad de $1^{\frac{p-1}{2}}, 2^{\frac{p-1}{2}}, \dots, (p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ son congruentes a 1 módulo $p$

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo impar. Mira los números del conjunto \begin {align*} S \in \{1^{ \frac {p-1}{2}}, 2^{ \frac {p-1}{2}}, \dots , (p-1)^{ \frac {p-1}{2}}\} \end {align*} Demostrar que exactamente la mitad de estos números son congruentes con 1 módulo $p$ .

Defino dos polinomios \begin {align*} &f(x) = x^{ \frac {p-1}{2}} - 1 \\ &g(x) = x^{ \frac {p-1}{2}} + 1 \end {align*} Según el teorema de Lagranges, las congruencias \begin {align*} &f(x) \equiv 0 \pmod {p} \\ &g(x) \equiv 0 \pmod {p} \end {align*} o \begin {align*} &x^{ \frac {p-1}{2}} \equiv 1 \pmod {p} \\ &x^{ \frac {p-1}{2}} \equiv -1 \pmod {p} \end {align*} tendrá el máximo $\frac{p-1}{2}$ siones de cada uno. Por lo tanto, podemos decir que como máximo la mitad de los números en $S$ será congruente con 1 o con -1 módulo $p$ . ¿Cómo puedo demostrar que exactamente la mitad de los números son congruentes con 1 o -1 módulo $p$ ?

Answer 1

$x^p-1=0$ tiene $p-1$ soluciones. $$x^p-1=(x^{\frac{p-1}{2}}-1)(x^{\frac{p-1}{2}}+1)$$ y como cada uno de $x^{\frac{p-1}{2}}-1$ y $x^{\frac{p-1}{2}}+1$ tiene como máximo $\frac{p-1}{2}$ muchas soluciones ambas deben tener exactamente $\frac{p-1}{2}$ muchas soluciones.

Answer 2

Recordemos que cada uno de $1, \dots, p-1$ es una raíz de $X^{p-1}-1$ .

Ahora bien, como ha aludido $X^{p-1}-1 = (X^{(p-1)/2} -1)(X^{(p-1)/2} +1)$ .

Esto significa que para cada $a=1, \dots, p-1$ :

$$(a^{(p-1)/2} -1)(a^{(p-1)/2} +1)=0$$ por lo que al menos uno de los dos $(a^{(p-1)/2} -1)$ y $(a^{(p-1)/2} +1)$ es cero, y por supuesto no ambos pueden ser iguales a $0$ .

Así, para cada $a=1, \dots, p-1$ exactamente uno de $(a^{(p-1)/2} -1)$ y $(a^{(p-1)/2} +1)$ es cero.

Como ha observado correctamente para cada uno de $(X^{(p-1)/2} -1)=0$ y $(X^{(p-1)/2} -1)=0$ puede haber como máximo $(p-1)/2$ soluciones.

Sin embargo, todo esto significa que $(X^{(p-1)/2} -1)=0$ y $(X^{(p-1)/2} -1)=0$ ambos tienen exactamente $(p-1)/2$ soluciones.

Usted conoce a cada uno de $p-1$ es una solución para uno de los dos, y cada uno puede tener como máximo $(p-1)/2$ solución, por lo que la única manera es que ambos tengan exactamente $(p-1)/2$ soluciones.