Dejemos que $f$ sea una función definida en $[0,1]$ tal que $f(0) > 0 > f(1)$ . Supongamos que existe una función continua $g$ en $[0,1]$ tal que $f + g$ es creciente. Demuestre que la ecuación $f(x)=0$ tiene al menos una solución en $[0,1]$ . He intentado considerar otra función continua para utilizar el teorema de los valores intermedios pero he fracasado. Muchas gracias.
Respuesta
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Una función creciente sólo tiene discontinuidades de salto, con límites a la izquierda y a la derecha en cada punto: $$ \forall a \in (0, 1] : \lim_{x \to a-} (f(x) + g(x)) \le f(a) + g(a) \, ,\\ \forall a \in [0, 1) : f(a) + g(a) \le \lim_{x \to a+} (f(x) + g(x)) \, . $$ Pero $g$ es continua, por lo que $$ \forall a \in (0, 1] : \lim_{x \to a-} f(x) \le f(a) \, , \\ \forall a \in [0, 1) : f(a) \le \lim_{x \to a+} f(x) \, . $$ Ahora defina $$ c = \sup \{ x \mid f(x) > 0 \} \, . $$ Entonces $$ c > 0 \implies 0 \le f(c) \, ,\\ c < 1 \implies f(c) \le 0 \, . $$ Desde $f(0) > 0 > f(1)$ se da, la única posibilidad es que $0 < c < 1$ y $f(c) = 0$ .
