Calcular $\int_{-\infty}^{\infty}ye^{-\frac{y^2}{2}+xy}dy$

Question

Cómo calcular $\int_{-\infty}^{\infty}ye^{-\frac{y^2}{2}+xy}dy$ ? (x e y son reales)

Sabemos que $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$ Pero, ¿cómo aplicar esta integral?

Answer 1

Sugerencia

$$\int_{-\infty}^{\infty}ye^{-\frac{y^2}{2}+xy}dy=\int_{-\infty}^{\infty}ye^{-\frac{(y-x)^2}2}e^{\frac {x^2} 2} dy$$

Utilice la sustitución $t=y-x$ entonces deberías ser capaz de terminar.

Spoilers :

$$\int_{-\infty}^{\infty}ye^{-\frac{y^2}{2}+xy}dy=\int_{-\infty}^{\infty}(t+x)e^{-\frac{t^2}2}e^{\frac {x^2} 2} dy=\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-\frac{t^2}2}e^{\frac {x^2} 2} dy=xe^{\frac {x^2} 2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}2} dy$$