Aproximación de la acción del mapa exponencial U(N)

Question

Digamos que tengo una curva en $\mathbb{C}^N$ dada por la acción del grupo unitario: $$x(t) = e^{Ht}x_0,~ H \in \mathfrak{u}(N),~ ||x_0||=1$$ Aquí, $H$ es una matriz de NxN de tipo skew-Hermitian (para un tamaño muy grande $N$ ). Puedo aproximar esto a primer orden como: $$\tilde x(t) \approx x_0 + t(Hx_0) + O(t^2)$$ Sin embargo, este mapa no es unitario; $||\tilde x(t)|| \neq 1$ . Una mejor aproximación de primer orden parece ser un gran círculo en la esfera unitaria en $\mathbb{C}^N$ : $$\tilde x(t)' \approx \cos(\alpha t)x_0 + \alpha^{-1}\sin(\alpha t)Hx_0,~\alpha = ||Hx_0||$$ Mi pregunta es: ¿Existe una generalización sencilla de esto a términos de orden superior? En concreto, estoy buscando una familia de curvas: $$\gamma_M(t) : \mathbb{R} \rightarrow S_C$$ que satisfagan: $$\frac{d^k}{dt^k} \gamma_M(t)|_{t=0} = \begin{cases}(H^k)x_0 & (k \le M) \\ 0 & (k > M)\end{cases}$$ donde $S_C$ es la esfera unitaria en $\mathbb{C}^N$ . Debería ser obvio que: $$\lim_{M\rightarrow\infty} \gamma_M(t) = \exp(Ht)x_0$$

Para el contexto, $H$ representa una complicada combinación lineal de elementos de $\mathfrak{u}(N)$ y es imposible de calcular explícitamente (lo que hace que el verdadero mapa exponencial sea casi imposible de calcular). Sin embargo, puedo calcular la acción de $H$ sobre vectores, así que quiero la transformada unitaria más cercana y fácil de calcular en función de algún número de aplicaciones iteradas de $H$ .

Answer 1

No verifica su condición en los derivados, pero esto parece un trabajo para el Transformación de Cayley : tomar $\tilde{x}(t) = (I-\frac{1}{2}Ht)^{-1}(I+\frac{1}{2}Ht)x_0$ .

El mapa escalar $z\mapsto \frac{1+\frac{1}{2}tz}{1-\frac{1}{2}tz}$ envía el eje imaginario (incluyendo $\infty) $ en el círculo unitario, por lo que esta transformación produce matrices unitarias a partir de matrices sesgadas-Hermitianas, exactamente como la exponencial. Además, es una aproximación de primer orden de $\exp(Ht)$ .

Answer 2

En lugar de responder a tu pregunta con resultados generales fácilmente obtenibles en la literatura, online o tradicional, te daré algunos morfismos.
Decidir si son étale puede contribuir a desarrollar su intuición.
(Por supuesto que con gusto te ayudaré a ti o a cualquier otro si tuvieras algún problema con estos morfismos)

a) $\mathbb A^1_\mathbb C\to \operatorname {Spec}(\mathbb C[X,Y]/(Y^2-X^3)): t\mapsto (t^2,t^3)$
b) $\mathbb A^1_\mathbb C\to \operatorname {Spec}(\mathbb C[X,Y]/(Y^2-X^2-X^3)): t\mapsto (t^2-1,t^3-t)$
c) $\mathbb A^2_\mathbb C\to \mathbb A^2_\mathbb C: (x,y)\mapsto (x,xy)$
d) $\operatorname {Spec}\mathbb C[T]\to \operatorname {Spec}\mathbb C[T^2,T^3]$
e) $\operatorname {Spec}\mathbb Q[T]/(T^2-4)\to \operatorname {Spec}\mathbb Q$
f) $\operatorname {Spec}\mathbb Q[T]/(T^2+4)\to \operatorname {Spec}\mathbb Q$
g) $\operatorname {Spec}\mathbb Q[T]/(T^2)\to \operatorname {Spec}\mathbb Q$
h) $\operatorname {Spec}\mathbb F_9\to \operatorname {Spec}\mathbb F_3$

Editar (un día después) : Dos teoremas útiles y cómo resuelven la cuestión de la etalidad de los morfismos anteriores

Teorema 1 Dado un campo $k$ y un $k$ -Álgebra $A$ el morfismo $\operatorname {Spec}(A)\to \operatorname {Spec}(k) $ es ético si $A$ es isomorfo como $k$ -a un producto finito $A\cong K_1\times...\times K_n$ de extensiones de campos finitos separables $K_i/k$ .
Nota: En el caso étale, $A$ debe reducirse ( es decir $\operatorname {Nil}(A)=0$ )
Ejemplo Toda extensión finita de Galois $K/k$ da lugar a un morfismo étale $\operatorname {Spec}(K)\to \operatorname {Spec}(k) $ . Este es el núcleo de la famosa geometrización de Grothendieck de la teoría de Galois
Ilustración Los morfismos e), f), h) son etélicos pero g) no lo es porque $\operatorname {Spec}\mathbb Q[T]/(T^2)$ no se reduce.

Teorema 2 Un morfismo de esquemas $f:X\to Y$ es étala si es plana y no ramificada.
Ilustración Los morfismos a) , b), c) y d) no son etélicos porque no son planos
En aras de la exhaustividad, permítanme mencionar que a), c) y d) son ramificados, pero que b) no es ramificado.
Permítanme también mencionar que a) y d) son dos presentaciones diferentes del mismo morfismo.