Digamos que tengo una curva en $\mathbb{C}^N$ dada por la acción del grupo unitario: $$x(t) = e^{Ht}x_0,~ H \in \mathfrak{u}(N),~ ||x_0||=1$$ Aquí, $H$ es una matriz de NxN de tipo skew-Hermitian (para un tamaño muy grande $N$ ). Puedo aproximar esto a primer orden como: $$\tilde x(t) \approx x_0 + t(Hx_0) + O(t^2)$$ Sin embargo, este mapa no es unitario; $||\tilde x(t)|| \neq 1$ . Una mejor aproximación de primer orden parece ser un gran círculo en la esfera unitaria en $\mathbb{C}^N$ : $$\tilde x(t)' \approx \cos(\alpha t)x_0 + \alpha^{-1}\sin(\alpha t)Hx_0,~\alpha = ||Hx_0||$$ Mi pregunta es: ¿Existe una generalización sencilla de esto a términos de orden superior? En concreto, estoy buscando una familia de curvas: $$\gamma_M(t) : \mathbb{R} \rightarrow S_C$$ que satisfagan: $$\frac{d^k}{dt^k} \gamma_M(t)|_{t=0} = \begin{cases}(H^k)x_0 & (k \le M) \\ 0 & (k > M)\end{cases}$$ donde $S_C$ es la esfera unitaria en $\mathbb{C}^N$ . Debería ser obvio que: $$\lim_{M\rightarrow\infty} \gamma_M(t) = \exp(Ht)x_0$$
Para el contexto, $H$ representa una complicada combinación lineal de elementos de $\mathfrak{u}(N)$ y es imposible de calcular explícitamente (lo que hace que el verdadero mapa exponencial sea casi imposible de calcular). Sin embargo, puedo calcular la acción de $H$ sobre vectores, así que quiero la transformada unitaria más cercana y fácil de calcular en función de algún número de aplicaciones iteradas de $H$ .