Grupos simples de orden finito

Question

Demostrar que NO hay ningún grupo simple de orden $n$ para cada uno de los siguientes enteros: $n=88, n=96, n=132.$

Se supone que debo resolver esto utilizando los teoremas de Sylows de alguna manera.

Empecemos por $n = 88$ y digamos que tenemos un Grupo $G$ con $|G|=88=8 \cdot11=2^3 \cdot 11.$

¿Cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

Para pedir $88$ el $n_{11}$ debe ser $1\mod 11$ y dividir $8$ por lo que $n_{11}=1$ y el Sylow es único, por lo tanto normal.

$96=2^5\times3$ . Se deduce directamente de Burnsides $p^aq^b$ teorema, voy a pensar en otra solución. La solución aportada por Dietrich es dulce, deberías mirarlo.

$132=11\times3\times 2^2$ , $n_{11}$ debe ser $1$ o $12$ , si es uno ya está hecho, si es $12$ hay $12\times10=120$ elementos de orden $11$ . $n_3$ debe ser $1\bmod 3$ y dividir $44$ . por lo que debe ser al menos $4$ si no es $1$ . Si es $4$ hay $8$ elementos de orden $3$ . esto deja $4$ elementos no de órdenes $11$ o $3$ Esto es suficiente para el $4$ -Sylow subgrupo que está obligado a ser único.