Coincidencia en la parametrización de soluciones diofánticas para los triples pitagóricos, etc.

Question

Consideremos un triple de enteros no negativos $(a, b, c)$ tal que $c^2 = a^2 + b^2$ . Esto puede verse como triángulos enteros con lados $(a, b, c)$ tal que $c$ es el lado opuesto a $90°$ ángulo. Tales triples son conocidos como Triples pitagóricos y es bien conocida (llamada fórmula de Euclides en Wikipedia ) que todas esas primitivas (es decir $\gcd(a, b, c) = 1$ ) se pueden parametrizar como:

\begin {align} a &= m^2 - n^2 \cr b &= 2mn \cr c &= m^2 + n^2 \end {align}

Siempre he encontrado ligeramente divertido (y ocasionalmente confuso) el hecho de que empezáramos a intentar encontrar una parametrización para las triplas en las que $c^2$ era una suma de dos cuadrados, y obtuvo una parametrización donde $c$ es una suma de dos cuadrados, es decir, tiene la misma forma.

Hoy me he encontrado con el problema de los triples no negativos $(a, b, c)$ tal que $c^2 = a^2 + b^2 + ab$ . Esto puede verse como triángulos enteros con lados $(a, b, c)$ tal que $c$ es el lado opuesto a $120°$ ángulo. Tales triples se llaman Triples pitagóricos 1 en OEIS , Los triples de Eisenstein en este documento y Triples "triptógenos" en esta entrada del blog . Sea cual sea el nombre, resulta que todas estas triplas primitivas pueden ser parametrizadas (véase esta página muy bonita ) como:

\begin {align} a &= n^2 - m^2 \cr b &= m^2 + 2mn \cr c &= m^2 + mn + n^2 \end {align}

donde $m < n$ tal que $\gcd(m,n)=1$ y $m≢n \pmod 3$ .

Esto es espeluznante: buscamos triples tales que $c^2$ era de la forma $a^2 + ab + b^2$ y resulta que $c$ es de una forma similar, $c = m^2 + mn + n^2$ .

Pregunta: ¿Es sólo una coincidencia? Si no es así, ¿qué está pasando? ¿Cuál es el tipo de problema más general para el que esto (sea lo que sea "esto") es cierto?

Hay un método general para ecuaciones diofantinas homogéneas de grado dos pero aún no he probado otras ecuaciones. Además, aunque a veces la forma parezca diferente, en realidad no lo es, por ejemplo, el misma página parametriza las soluciones de $c^2 = a^2 + b^2 - ab$ (correspondiente a $60°$ ángulos) como $c = m^2 + n^2 + mn$ lo que parecería un contraejemplo, pero sustituyendo cualquiera de los dos $m$ con $-m$ o $n$ con $-n$ da $m^2 + n^2 - mn$ así que no estoy seguro.

Answer 1

Duplicación de Gauss.

$$ A^2 +AB + 41 B^2 = C^2 $$ $$ A = x^2 - 41 y^2 $$ $$ B = 2xy + y^2 $$ $$ C = x^2 + xy + 41 y^2 $$

Si tiene un número de clase mayor que uno, más opciones; podemos resolver $A^2 + 6 B^2 = C^2,$ donde $C = 2x^2 + 3 y^2 \; . \;$ O $A^2 + 5 B^2 = C^2, $ donde $C = 2 x^2 + 2xy + 3 y^2.$

Answer 2

El ejemplo que me gusta mostrar es resolver $$ 2(x^2 + y^2 + z^2) - 113(yz + zx + xy)=0, $$ cuatro "recetas", todas compuestas por formas cuadráticas binarias $$ \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 37 u^2 + 51 uv + 8 v^2 \\ 8 u^2 -35 uv -6 v^2 \\ -6 u^2 + 23 uv + 37 v^2 \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 32 u^2 + 61 uv + 18 v^2 \\ 18 u^2 -25 uv -11 v^2 \\ -11 u^2 + 3 uv + 32 v^2 \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 38 u^2 + 45 uv + 4 v^2 \\ 4 u^2 -37 uv -3 v^2 \\ -3 u^2 + 31 uv + 38 v^2 \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 29 u^2 + 63 uv + 22 v^2 \\ 22 u^2 -19 uv -12 v^2 \\ -12 u^2 -5 uv + 29 v^2 \end{array} \right) $$

Para las cuatro recetas, $$ x^2 + y^2 + z^2 = 1469 \left( u^2 + uv + v^2 \right)^2 $$ dando límites efectivos a $u,v$ si se da un límite superior a $x^2 + y^2 + z^2$