¿Son estas raíces las únicas o hay más raíces?

Question

Estoy viendo el siguiente ejercicio:

Dejemos que $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ integrable. Demuestre que $\exists \xi \in [a,b]$ tal que $\int_a^{\xi} f(u) du= \int_{\xi}^{b} f(u) du$

Definimos $G(x)=\int_a^{x} f(u) du+ \int_{b}^{x} f(u) du$

$$\int_a^{x} f(u) du \text{ and } \int_{b}^{x} f(u) du \text{ are uniformly continuous at} [a,b],\text{ so } G \text{ is also uniformly continuous }$$

• $G(a)=- \int_a^b f(u) du$
• $G(b)=\int_a^b f(u) du$

Así que, $G(a) \cdot G(b) \leq 0$

• $G(a) \cdot G(b) <0$ : $$G \text{ is uniformly continuous at } [a,b],\text{ so it is also continuous at this interval, so from the Bolzano theorem } \exists \xi \in (a,b) \text{ such that } \int_a^{\xi} f(u)du= \int_{\xi}^b f(u)du$$
• En el caso $G(a) \cdot G(b)=0$ son las únicas raíces posibles $\xi=a \text{ and } \xi=b$ ¿hay también otros?

Answer 1

Puede ser más fructífero definir $$H(x) = \int_a^x f(u) \, du - \int_x^b f(u) \, du.$$ Si $H(a) = 0$ ya está hecho. De lo contrario, tenga en cuenta que $H(a) = - H(b)$ para que uno de estos números sea positivo y el otro negativo. Existe $\xi$ con $H(\xi) = 0$ porque $H$ es continua en $[a,b]$ .

Answer 2

La respuesta a "¿no hay otras raíces?" no es necesariamente. Por ejemplo, el conjunto $f(x)=0$ , entonces cada valor de $x$ es una raíz, es decir $H(x)=0$ para todos $x$ (como se define en la solución de @Umberto).

Answer 3

Puede haber más raíces. Por ejemplo $f(x)=\sin x$ , $x\in[0,4\pi]$ .

Entonces, $$\int_0^{x}\sin udu=1-\cos x$$ y $$\int_x^{4\pi}\sin udu=\cos x-1$$

La ecuación $$1-\cos x=\cos x-1$$ tiene tres soluciones en el intrerval, a saber $0$ , $2\pi$ y $4\pi$ .

Para garantizar la singularidad es necesario $f$ sea monótona. (Tal vez con condiciones un poco más débiles, tal monotónico casi siempre también se puede garantizar).