un ejemplo de secuencia $(u_n)_n$ tomando sus valores en $[-1,+1]$ tal que $(u_{n+1}-u_n)$ convergen a cero pero $(u_n)_n$ no converge

Question

Definir una secuencia $(u_n)_n$ por:

$$u_n=\cos(\log n).$$

Entonces, es fácil demostrar que $(u_{n+1}-u_n)$ va a cero en el infinito. La cuestión es cómo demostrar que $(u_n)_n$ es una secuencia divergente mediante la subsecuencia

$$ (u_{\varphi(n)})_n,\, \varphi(n)=[e^{\alpha+2\pi n}], \alpha\in[0,\pi]. $$

(el par de brackuets $[\cdot]$ denotan la función de la parte entera)

Answer 1

Dejemos que $n(k)=\lfloor\mathrm e^{2k\pi}\rfloor$ para cada número entero positivo $k$ entonces $$2k\pi+\log(1-\mathrm e^{-2k\pi})\leqslant\log n(k)\leqslant2k\pi,$$ por lo que $u_{n(k)}\geqslant\cos(\log(1-\mathrm e^{-2k\pi}))$ . Desde $\log(1-\mathrm e^{-2k\pi})\to0$ , $u_{n(k)}\to+1$ cuando $k\to\infty$ .

Dejemos que $m(k)=\lfloor\mathrm e^{(2k+1)\pi}\rfloor$ para cada número entero positivo $k$ entonces $$2k\pi+\pi+\log(1-\mathrm e^{-(2k+1)\pi})\leqslant\log m(k)\leqslant2k\pi+\pi,$$ por lo que $u_{m(k)}\leqslant-\cos(\log(1-\mathrm e^{-2k\pi}))$ . Desde $\log(1-\mathrm e^{-2k\pi})\to0$ , $u_{m(k)}\to-1$ cuando $k\to\infty$ .

Esto demuestra que $+1$ y $-1$ son puntos límite de $(u_n)$ (en realidad el conjunto de puntos límite de $(u_n)$ es todo el intervalo $[-1,+1]$ ), por lo que la secuencia $(u_n)$ diverge.