Más sobre la paradoja de la caja de Bertrand

Question

Estoy confundido con una pregunta de probabilidad condicional de Mil ejercicios de probabilidad por Geoffery Grimmett y David Stirzaker:

Un hombre posee cinco monedas, dos de las cuales son de doble cabeza, una de doble cola y dos normales. Cierra los ojos, elige una moneda al azar y la lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara inferior de la moneda sea una cara?

Abre los ojos y ve que la moneda muestra cara; ¿cuál es la probabilidad de que la cara inferior sea cara?

Vuelve a cerrar los ojos y lanza de nuevo la moneda. Cuál es la probabilidad de que la cara inferior sea una cabeza?

Estoy de acuerdo con las dos primeras preguntas. Para la tercera pregunta, creo que pide la probabilidad de que la cara inferior sea una cabeza en el segundo lanzamiento dado que la cara superior es una cabeza en el primer lanzamiento . Dejemos que $D_H$ sea el caso de que la moneda tenga dos caras, $D_T$ el caso de que la moneda tenga doble cola, $N$ el caso de que la moneda sea normal, $H_i$ el caso de que la cara inferior sea la cabeza en el $i$ y por último $U_i$ el caso de que la cara superior sea la cabeza en el $i$ el lanzamiento.

Ahora tenemos que encontrar $\mathbb{P}(H_2 \mid U_1)$ . Sin embargo, lo que sabemos de la segunda pregunta es $$\mathbb{P}(D_H \mid U_1)= \frac{2}{3}, \quad \mathbb{P}(D_T \mid U_1) =0, \quad \mathbb{P}(N\mid U_1)=\frac{1}{3},$$

y no pude deducir lo que $\mathbb{P}(H_2 \mid U_1) = \frac{\mathbb{P}(H_2 \; \cap\; U_1)}{\mathbb{P}(U_1)}$ es por lo que sabemos.

Answer 1

Hay tres tipos de monedas $HH$ , $HT$ y $TT$ con probabilidades de $2/5$ , $2/5$ y $1/5$ respectivamente. Sea $L$ , $U$ ser los eventos que la cara inferior/superior es una cabeza.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara inferior de la moneda sea una cara?

$$P(L) = \frac{2}{5}\times1+\frac{2}{5}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\times0=\frac{3}{5}$$ (O, más sencillo, hay seis cabezas de $10$ caras).

2. Abre los ojos y ve que la moneda muestra cara; ¿cuál es la probabilidad de que la cara inferior sea cara?

$$P(U)=P(L)=\frac{3}{5}$$ $$\therefore P(L|U)=\frac{P(L\cap U)}{P(U)}=\frac{2/5}{3/5}=\frac{2}{3}$$

3. Vuelve a cerrar los ojos y lanza de nuevo la moneda. Cuál es la probabilidad de que la cara inferior sea una cabeza?

$$P(HH|U_1)=\frac{P(HH\cap U_1)}{P(U_1)}=\frac{2/5}{3/5}=\frac{2}{3}$$ $$\therefore P(HT|U_1)=\frac{1}{3}$$ \begin {align} \therefore P(L_2|U_1)&=P(L_2|HH)P(HH|U_1)+P(L_2|HT)P(HT|U_1)+P(L_2|TT)P(TT|U_1) \\ &= \frac {2}{3} \times1 + \frac {1}{3} \times\frac {1}{2}+0= \frac {5}{6} \end {align}

Answer 2

La suposición subyacente es que, dada la elección de la moneda, los dos lanzamientos son independientes. Vamos a formalizar esta información.

Así que dejemos $C\in \{hh,ht,tt\}$ sea la elección de la moneda con probabilidades $2/5,2/5$ y $1/5$ respectivamente. Sea $U_i, L_i\in\{h,t\}$ sea la cara superior e inferior en el $i$ 'El lanzamiento'. Deja que $A=\{U_1=h\}$ sea el caso de que obtengamos una cabeza superior en el primer lanzamiento y $B=\{L_2=h\}$ una cabeza más baja en el segundo. Obtenemos por una aplicación estándar de Bayes que $P(C=hh|A) = 2/3$ y $P(CC=ht|A)=1/3$ .

Ahora, la independencia condicional significa que $$P(A\cap B|C)=P(A|C)\; P(B|C)$$ que se puede reescribir de la siguiente manera: $$ P(B\cap C|A) = P(B|C)\; P(C|A) $$ Entonces $$P(B|A) = \sum_C P(B\cap C|A) = \sum_C P(B|C)\; P(C|A) = 1\times \frac23 + \frac12 \times \frac13 + 0\times 0 = \frac56.$$

Answer 3

Una forma menos formal de verlo puede ayudar a tu intuición. Al principio, la probabilidad a priori de que la moneda tenga dos caras era $\frac25$ . Tras el segundo experimento, la probabilidad posterior de que la moneda tenga dos caras es $\frac23$ y la probabilidad posterior de que la moneda sea normal es $\frac13$ por lo que estas son las probabilidades a priori para el tercer experimento.

Obtenemos la misma respuesta si suponemos que hay $3$ monedas, $2$ de dos cabezas y $1$ normal. Ahora hay $6$ caras, y $5$ son cabezas, por lo que la probabilidad es $\frac56$ .

Answer 4

Con respecto a la primera pregunta.

Hay $10$ caras equiprobables y $6$ de ellos son cabezas por lo que la probabilidad es igual: $$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

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En cuanto a la segunda pregunta.

Hay $6$ cabezas equiprobables y $4$ de ellos pertenecen a una moneda que tiene dos cabeza por lo que la probabilidad es igual: $$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

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En cuanto a la tercera pregunta.

La probabilidad de que tenga una moneda de dos caras en la mano es igual a $\frac{2}{3}$ (como se demostró anteriormente) y si ese es el caso entonces la probabilidad de que la cara inferior sea una cabeza es igual a $1$ .

La probabilidad de que tenga una moneda normal en la mano es igual a $1-\frac23=\frac{1}{3}$ y si ese es el caso entonces la probabilidad de que la cara inferior sea una cabeza es igual a $\frac{1}{2}$ .

Esto nos lleva a la probabilidad: $$\frac{2}{3}\cdot1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$$