Teorema del valor medio: demostrar que una ecuación tiene solución

Question

$g(x)$ es una función continua en $[0,\pi]$ y diferenciable en $(0,\pi)$ con $g(0)=g(\pi)$ . Necesito demostrar que la ecuación $g'(x)+g(x)cos(x)=0$ tiene una solución en $(0,\pi)$ .

Intento de solución :

Dejemos que $f(x)=k(x)g(x)$ para un adecuado $k(x)$ . Entonces $f(x)$ es continua en $[0,\pi]$ y diferenciable en $(0,\pi)$ .

Por el teorema del valor medio, existe $c \in (0,\pi)$ tal que $$f'(c)=\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0}=\frac{k(\pi)g(\pi)-k(0)g(0)}{\pi-0}=0$$

Ahora, $$f'(x)=k'(x)g(x)+k(x)g'(x)$$ así que $$f'(c)=k'(c)g(c)+k(c)g'(c)=0$$

Así que tengo $$k'(c)g(c)+k(c)g'(c)=0$$ y $$cos(c)g(c)+g'(c)=0$$

Así que quiero hacer $cos(c)=k'(c)$ y $k(c)=1$

¿Hay alguna forma de solucionar esto? ¿O me he equivocado antes?

Answer 1

Sugerencia: Deja que $F(x)=g(x)e^{sin(x)}$ Obsérvese que $F(0)=F(\pi)$ y $F'(x)=(g'(x)+g(x)\cos(x))e^{\sin(x)}$ aplique ahora el teorema de Rolle a $F$ en el intervalo $[0,\pi]$ .

Answer 2

Si $g(x)$ es distinto de cero en $[0,π]$ :

Dejemos que $h(x)=ln(g(x)+sinx$ definido en $[0,π]$ . $h$ es continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el abierto.

Compruebe que $h(0)=h(π)$ y aplicar el teorema de Rolle para $h$ . Existe $ξ$ en $(0,π)$ tal que $h'(ξ)=0$ .

Sólo hay que evaluar $h'(x)$ y ya está.