Prueba de que $\{ e \} \cdot \{ F \} = \{ F \} \cdot \{ e \} = \{ F \}$

Question

En la prueba de Mendelson de que $\{ e \} \cdot \{ F \} = \{ F \} \cdot \{ e \} = \{ F \}$ en las páginas 145-147 de Introducción a la topología (donde $\{ e \}$ es la trayectoria constante y $\{ F \}$ es una clase de equivalencia de caminos cerrados), primero define $\{ F \} \cdot \{ e \}$ en el intervalo unitario, y luego define una función $H(t, s)$ que proyecta $\{ F \} \cdot \{ e \}$ en un intervalo unitario donde la longitud del segmento asignado a $\{ e \}$ se reduce a cero. Es decir, en $H(t, 0)$ las longitudes de los dos segmentos son como en $\{ F \} \cdot \{ e \}$ y en $H(t, .5)$ La longitud de $\{ e \}$ es la mitad de lo que es en $H(t, 0)$ y en $H(t, 1)$ La longitud de $\{ e \}$ es $0$ .

La pieza de lógica que estoy buscando para volver a comprobar es por qué esto sólo funciona con la ruta constante $\{ e \}$ .

Según tengo entendido, si tengo un producto $\{ F \} \cdot \{ G \}$ (donde $\{ G \}$ no es $\{ e \}$ ), no puedo reducir la longitud de $\{ G \}$ a $0$ en el intervalo de la unidad porque $\{ G \}$ tiene diferentes valores en diferentes puntos del intervalo. Por lo tanto, no puedo definir una función que transforme $\{ F \} \cdot \{ G \}$ en sólo $\{ F \}$ . Siempre tendría que haber alguna longitud arbitraria no nula asignada a $\{ G \}$ .

Sin embargo, también parece que puedo reducir la longitud de $\{ G \}$ en el intervalo de la unidad a una longitud tan cercana a cero como quiera.

¿Es esto correcto?

Pido disculpas por los errores de redacción, estoy tratando de replantear la prueba con mis propias palabras para entenderla mejor.

Answer 1

Intuitivamente, la razón por la que funciona para $\{e\}$ es que la trayectoria constante en el punto base no lleva ninguna información sobre $X$ y puede ser "desplazado" de la clase de equivalencia de la trayectoria compuesta sin pérdida.

Formalmente, definimos $$F \cdot G : [0,1] \to X, F(s) = \begin{cases} F(2s) & s \le 1/2 \\ G(2s-1) & s \ge 1/2 \end{cases}$$ Ahora trata de definir una homotopía de $F \cdot G$ a $F$ como en el caso de $G = e$ . Esto tendría la forma $$H : [0,1] \times [0,1] \to X, H(s,t) = \begin{cases} F(2s/(1+t)) & s \le (1+t)/2 \\ G((2s-1-t)/(1-t)) & s \ge (1+t)/2 , t < 1 \end{cases}$$ Tenga en cuenta que para $t=1$ obtenemos $H(s,1) = F(s)$ . La idea es estirar el subintervalo que lleva $F$ linealmente desde su tamaño inicial $[0,1/2]$ a $[0,(1+t)/2]$ lo que resulta en $[0,1]$ para $t = 1$ . Al hacerlo, el subintervalo que lleva $G$ se reduce linealmente desde su tamaño inicial $[1/2,1]$ a $[(1+t)/2,1]$ lo que da lugar al intervalo degenerado $[1,1]$ para $t = 1$ .

En caso de que $G = e$ tenemos $G((2s-1-t)/(1-t)) \equiv x_0$ = punto base de $X$ para que obtengamos un continuo $H$ .

Si $G \ne e$ entonces $H$ no es continua. Esto es intuitivamente claro: el bucle $G$ está presente para todos los $t < 1$ (aunque vive en un subintervalo cada vez más pequeño de $[0,1]$ ), por lo que no puede desaparecer continuamente en $t = 1$ .

Para ver esto formalmente, considere un barrio $U$ de $x_0$ que no contiene la imagen completa $G([0,1])$ . Si $H$ fueran continuas, entonces habría una vecindad $V$ de $(1,1)$ en $[0,1] \times [0,1]$ tal que $H(V) \subset U$ . Encontramos $s_0, t_0 \in [0,1)$ tal que $(s_0,1] \times (t_0,1] \subset V$ . Ahora dejemos que $t \in (t_0,1)$ tal que $(1+t)/2 > s_0$ . Entonces $G([0,1]) \subset H([0,1] \times \{t\}) \subset U$ que es imposible.