Media armónica de variables aleatorias

Question

La media aritmética de las variables aleatorias normales es normal. La media geométrica de las variables aleatorias log-normales es log-normal. Pero, ¿existe una familia de distribuciones común cerrada bajo la toma de medias armónicas?

Answer 1

En el marco de Flujo potencial el campo de velocidad de un flujo potencial bidimensional es el gradiente de la parte real de una función compleja $w(z)$ que es analítica fuera de las regiones de singularidad. La parte imaginaria del potencial complejo es la función de corriente, cuyos loci constantes son las líneas de corriente, es decir, las curvas integrales del campo de velocidad. Por ejemplo, para un vórtice simple que actúa en $z_0$ la función potencial viene dada por:

$w(z) = -\frac{i \Gamma}{2 \pi} log(z-z_0)$ .

( $\Gamma$ es (la constante) vorticidad). Es fácil comprobar que esta función poencial da rize a un flujo angular alrededor de $z_0$ de velocidad inversamente proporcional a la distancia de $z_0$ .

La parte real del potencial complejo satisface la ecuación bidimensional de Laplace y, por linealidad, se pueden obtener nuevas soluciones por superposición. En el caso de los vórtices múltiples, la función potencial compleja toma la forma

$w(z) = \sum_n -\frac{(-1)^n i\Gamma}{2 \pi} log(z-z_n)$ ,

donde $z_n$ son los centros de vórtice.

Ahora, se me ocurre un posible candidato a diagrama de Voronoi para los vórtices definiendo las paredes de las celdas como los lugares de los puntos de estancamiento en los que la velocidad del fluido es cero. Estos puntos se caracterizan por la condición

$\frac{dw(z)}{dz}=0$ .

Esta sugerencia dará lugar a una solución sencilla en el caso de los vórtices que giran en la misma dirección, pero no en el caso de los vórtices que giran en sentido contrario.

Observación: De una lectura superficial del artículo referido, la solución de vórtice es una perturbación a un flujo de punto de estancamiento. Se trata de un flujo hacia una pared o una esquina. Para tener en cuenta la existencia de esta pared, hay que añadir vórtices desde el otro lado de la pared según la método de las imágenes . Es posible que los puntos de estancamiento de la solución completa (incluyendo las imágenes) tengan la estructura de celdas de Voronoi requerida.

Editar:

Gracias al acertado comentario de Rahul, los puntos de estancamiento son ciertamente discretos y no tienen lugares unidimensionales. Creo que la sugerencia se puede salvar si definimos las paredes de las celdas de Voronoi como si pasaran por los puntos de estancamiento y tuvieran una normal en la dirección de la línea que conecta los dos vórtices.

Answer 2

Cualquier clase de distribuciones que sea cerrada bajo sumas independientes y casi seguramente no nula funcionará aquí (y por supuesto también dará un ejemplo para las medias geométricas correspondientes a la log-normal) de la misma manera que en el ejemplo de Michael. Así que además de las variables aleatorias normales (p=2) y Cauchy (p=1), funcionan los recíprocos de cualquier variable aleatoria p-estable. Por supuesto, sólo las Cauchy tienen la propiedad de distribuirse igual que sus recíprocas, así que la respuesta de John no se generaliza hasta aquí.

Answer 3

Se me acaba de ocurrir que como las variables aleatorias de Cauchy son cerradas bajo recíprocos y cerradas bajo sumas, son cerradas bajo medios armónicos.

Answer 4

En general, se desea tomar $X=1/Y$ , donde $Y$ es una variable aleatoria estable. Un ejemplo sorprendente es $X=N(0,1)^2$ ya que $N(0,1)^{-2}$ es estable de índice $1/2$ .