Soluciones a la integral $\int \frac {dx}{2\sqrt x (x+1)}$

Question

Me dan una pregunta para resolver la integral $\int \frac {dx}{2\sqrt x (x+1)}$ . Cuando sustituyo $x+1 = t^2$ Obtengo la solución como $\space \ln(\sqrt{x+1} + \sqrt x) +C$ ; mientras que cuando sustituyo $x=t^2$ Me sale $\tan^{-1}(\sqrt x) +C$ como solución.

¿Son correctas ambas soluciones o alguna de ellas es incorrecta? Si ambas son correctas, ¿podemos equiparar las dos soluciones entre sí (sólo una idea descabellada...)?

Gracias

Answer 1

No pueden ser lo mismo, el primero no está acotado mientras que el segundo está acotado. En cualquier caso, tu segunda respuesta es correcta.

Para completar, aquí hay una derivación. Sea $u=\sqrt{x}$ entonces $du=\frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y $x=u^2$ . (Esta fue una buena elección precisamente porque el factor de $2\sqrt{x}$ en el denominador se absorbe en el $du$ .) Así que su integral es

$$\int \frac{du}{u^2+1} = \arctan(u) + C = \arctan(\sqrt{x}) + C.$$

Answer 2

Una pista: $I = \displaystyle \int \dfrac{d(\sqrt{x})}{(\sqrt{x})^2 + 1}$