Determinar la transformada de Fourier de $f(x) &

Question

f(x)=1 si |x| < a o f(x) = 0 si |x| > a

Utilizamos la fórmula $$ {1\over 2\pi} \int_{\infty}^\infty f(\bar x)e^{i\omega \bar x} $$ Así es $f(\bar x)$ lo mismo que $f(x)$ ?? En una respuesta integraron de -a a a sin embargo pensé que es de infinito negativo a a ya que 0 no se puede integrar.

Answer 1

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i\omega x}dx=\int_{-a}^{a}1\,e^{i\omega x}dx+\int_{|x|>a} 0\,e^{i\omega x}dx=2a\,\frac{\sin(\omega a)}{\omega a}$$

Obsérvese que la integral $\int_{|x|>a} 0\,e^{i\omega x}dx=0$ .

También hay que tener en cuenta que en la integral, el símbolo $x$ es una variable "ficticia" únicamente. Es decir, podemos sustituir $x$ con $\bar x$ como variable ficticia y el resultado se mantiene.