Para determinar si un polinomio tiene solución real

Question

Tengo el siguiente polinomio : $x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

Debo determinar si este polinomio tiene al menos 1 solución real y justificar por qué. Tenemos un teorema que dice que todos los polinomios con coeficientes reales se pueden descomponer en un producto de polinomios de coeficientes reales de grado 1 ó 2. Así que esto significa que tenemos cuatro escenarios :

Factores : 2+2+2+1 , 2+2+1+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1+1

En todos estos casos, tenemos al menos un factor de grado 1, por lo que hay al menos una solución real en cada caso. ¿Qué opinas?

Answer 1

Se garantiza que su ecuación tiene al menos una solución real porque es un polinomio de grado impar. Podemos demostrarlo por el Teorema Fundamental del Álgebra o por el Teorema del Valor Intermedio.

FTOA- Todos los polinomios de grado $n$ tienen $n$ raíces, reales o complejas, y las raíces complejas vienen en pares, por lo que un polinomio de impar $n$ debe tener al menos una raíz real, porque esa raíz será el "impar uno fuera" por así decirlo.

IVT- para todos los polinomios de impar $n$ , como $x \rightarrow \infty, \ \ x^n \rightarrow \infty$ y como $x \rightarrow -\infty, \ \ x^n \rightarrow -\infty$ . Y, como todos los polinomios son continuos, cualquier polinomio de grado impar debe cruzar el $x$ -eje al menos una vez, en algún lugar. Esto garantiza que existe al menos una raíz.

Answer 2

Desde $$x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x^8-1}{x-1}$$ podemos utilizar el hecho de que $x^8-1$ tiene sus raíces en $-1$ y $1$ para obtener la raíz de $x=-1$ .

Answer 3

Astroman.

Dejemos que $ f(x) = x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 $ . Siendo una función polinómica, $f$ es continua y diferenciable a lo largo de su dominio, que es $ \mathbb{R} $ .

Ahora, tomemos $ f(-2) $ y $ f(0) $ :

$ \begin{cases} f(-2) = 85 \\ f(0) = 1 \end{cases} $ o, en otras palabras: $ f(-2) < 0 < f(0) $

Así, según el Teorema del Valor Intermedio, porque $ f $ es continua en $[-2,0] $ y $ f $ es diferenciable en $ (-2,0 ) $ existe un $ c \in (-2,0) $ tal que $ f(c) = 0 $ lo que demuestra que $ f $ tiene al menos una raíz real.

Saludos cordiales, Pedro.

Answer 4

$\begin{align*} x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 &= (x^4+1)(x^3+x^2+x+1) \\ &= (x^4+1)(x^2+1)(x+1) \end{align*}$