Álgebra. Resolver una función gamma dada: $\ln L = n \ln(\Gamma(a+1)) - n \ln (\Gamma(a)) + (a-1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

Question

$\ln L = n \ln(\Gamma(a+1)) - n \ln (\Gamma(a)) + (a-1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

así que dado esto quiero resolver la derivada para $a$ y luego resolver para $a$ , $\ln L = 0$

$0 = \frac{n(\Gamma(a+1)')}{\Gamma(a+1)} - \frac{n\Gamma'(a)}{\Gamma(a)} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

es igual a $\frac{n}{a} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$ entonces $a = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$ . Aunque no estoy seguro de cómo han llegado a eso.

No estoy seguro de cómo hacer el resto.

Answer 1

Es simplemente que $$ \frac{\Gamma(a + 1)}{\Gamma(a)} = a,$$ por una propiedad estándar de la función Gamma.

Así que $$ \ln L = n \ln a + (a - 1) \sum_{i=1}^n \ln x_i.$$