Cómo multiplicar $\sqrt{5x^2+2x+1}$ con $\frac{1}{x}$ ?

Question

Creo que la respuesta dice, $\sqrt{5+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}$ pero no veo cómo lo obtuvieron. Estoy bastante oxidado con los radicales.

Answer 1

Sólo una ligera variación a los enfoques ya publicados.

Supongamos que

$A = \sqrt{5x^2 + 2x + 1}$

$B = \frac{1}{x}$

Si $AB = C$ entonces ${(AB)}^2 = C^2$ o $A^2B^2 = C^2$

$A^2$ = $5x^2 + 2x + 1$

$B^2$ = $\frac{1}{x^2}$

Así que $C^2 = 5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}$

Y para volver a C: $$\sqrt{C^2} = \pm\sqrt{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$$

Answer 2

$f(x) = \sqrt{5 x^2 + 2x +1}$ es la función positiva cuyo cuadrado $f^2$ es $f^2=5 x^2 + 2x +1$ .
Por lo tanto, el cuadrado $(\frac f x)^2$ es $(\frac f x)^2 = 5 +\frac 2 x + \frac 1 {x^2}$ lo que implica que $$\Big | \frac{\sqrt{ 5x^2 +2x+1}}{x}\Big|= \sqrt { 5 +\frac 2 x + \frac 1 {x^2}}.$$

Answer 3

Si $x>0$ entonces $x=\sqrt{x^2}$ . Así que si $x>0$ entonces

$$\begin{align*} \frac{1}{x}\cdot\sqrt{5x^2+2x+1} &= \frac{\sqrt{5x^2+2x+1}}{x} \\ &= \frac{\sqrt{5x^2+2x+1}}{\sqrt{x^2}} \\ &= \sqrt{\frac{5x^2+2x+1}{x^2}} \\ &= \sqrt{\frac{5x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2}} \\ &= \sqrt{5+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} \\ \end{align*}$$

Pero si $x<0$ entonces $x=-\sqrt{x^2}$ . Así que en este caso obtendríamos que

$$\begin{align*} \frac{1}{x}\cdot\sqrt{5x^2+2x+1} &= \frac{\sqrt{5x^2+2x+1}}{x} \\ &= \frac{\sqrt{5x^2+2x+1}}{-\sqrt{x^2}} \\ &= -\sqrt{\frac{5x^2+2x+1}{x^2}} \\ &= -\sqrt{\frac{5x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2}} \\ &= -\sqrt{5+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} \\ \end{align*}$$