Valor esperado de un máximo

Question

Tenemos una ruleta con la circunferencia $a$ . Hacemos girar la ruleta 10 veces y medimos 10 distancias, $x_1,\ldots,x_{10}$ desde un punto cero predefinido. Podemos suponer que esas distancias son $U(0,a)$ distribuido.

Una estimación de la circunferencia $a$ se da:

$$a^* = \max(x_1,\ldots,x_{10})$$

Para comprobar si es tendencioso o no tengo que calcular:

$$E(a^*) = E(\max(x_1,\ldots,x_{10}))$$

¿Cómo debo proceder? No conozco ninguna regla para calcular la estimación de un $\max$ .

Answer 1

Pista: (1) Encuentra $\mathbb P(a^*\lt t)$ por cada $t$ en $(0,a)$ . (2) Encuentre una fórmula para $\mathbb E(a^*)$ en función de las probabilidades $\mathbb P(a^*\lt t)$ .

Answer 2

Dejemos que $W=\max(X_1,\dots,X_{10})$ . Entonces $W\le w$ si y sólo si $X_i\le w$ para todos $i$ . A partir de esto se puede encontrar la cdf de $W$ , de ahí la densidad, de ahí la expectativa.

Añadido : Para cualquier $i$ la probabilidad de que $X_i\le w$ es $\dfrac{w}{a}$ .

Así que por independencia, la función de distribución acumulativa $F_W(w)$ de $W$ es $\left(\dfrac{w}{a}\right)^{10}$ (para $0\le w\le a$ )

De ello se deduce que la función de densidad de $W$ es $\dfrac{1}{a^{10}}10w^9$ en $[0,a]$ y $0$ en otro lugar.

Multiplique esta función de densidad por $w$ , integrar desde $0$ a $a$ para encontrar $E(W)$ .