¿Qué significa esta notación? $\frac{\partial f}{\partial x}(x+y)=\frac{\partial }{\partial x}f(x+y)$

Question

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x+y)=\frac{\partial }{\partial x}f(x+y)$$

Me preguntaba qué significa el lado izquierdo. (o cómo hacer la operación basada en la notación del LHS, dada una función específica $f$ )

Además, ¿cuándo es cierta esa conmutación? ¿En qué condiciones?

Answer 1

Si $f$ es alguna función, entonces podemos definir $f_y : x\mapsto f(x+y)$ . Es básicamente una versión desplazada de la función $f$ .

Su igualdad dice que (con $D$ el operador de derivación): $$ Df(x+y) = Df_{y}(x), $$ o, si lo prefiere $$ (Df)_y = D(f_y). $$ En otras palabras: "desplazar" o "trasladar" una función conmuta con tomar derivadas. Si denotamos por $T_y$ el operador $f\mapsto f_y$ entonces podríamos escribirlo como $$T_y\circ D = D\circ T_y $$

En el lenguaje de los sistemas se dice que la derivación es una sistema invariable en el tiempo . En mi opinión, también es un buen ejemplo de cómo el $\frac{\partial}{\partial x}$ puede a veces oscurecer las cosas.

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Esto es siempre cierto (si la función derivada existe), porque (intuitivamente) la derivación sólo depende de una vecindad de la función, y no de la ordenada. En otras palabras, si te doy una imagen de una función pero me olvido de dibujar la $y$ -eje, todavía se puede dibujar la función derivada. (Esto sería diferente si te pidiera, por ejemplo, que dibujaras $xf(x)$ .)

Para una derivación más rigurosa de esta propiedad: dejemos que $f$ sea cualquier función (diferenciable), entonces tenemos que

$$ \begin{align*} Df_y(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f_y(x+h)-f_y(h)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h+y)-f(x+y)}{h} \end{align*}$$ y $$ \begin{align*} (Df)_y(x) &= Df(x+y)\\ &= (Df)(z)|_{z=x+y} \\ &= \lim_{h\to 0}\left.\frac{f(z+h)-f(z)}{h} \right|_{z=x+y} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+y+h)-f(x+y)}{h} \end{align*} $$