¿Si la suma de Minkowski de dos conjuntos cerrados convexas es una bola de euclidiana, entonces los dos conjuntos puede nada que no sea euclídeas bolas?

Question

Si para dos convexa cerraron juegos $S_1$ y $S_2$, la suma de Minkowski es una bola de euclidiana entonces puede $S_1$ y $S_2$ ser otra cosa que la euclidianas bolas ellos mismos. Sospecho pueden ser pero no he encontrado un contraejemplo. No tengo experiencia con sumas de Minkowski, así que cualquier ayuda será apreciada.

¡ Gracias!

Answer 1

Esto es casi seguro falsas. La siguiente animación muestra dos formas convexas (con los contornos que se muestra en rojo y verde) cuya suma de Minkowski es un disco de radio 3 (con un esquema que se muestra en azul). La forma verde es una elipse con mayores y menores radios 1 y 1/2, que únicamente determina la forma roja.

No tengo una prueba de que el rojo es la forma convexa, pero no debería ser demasiado difícil de comprobar.

Por cierto, aquí está el código de Mathematica he utilizado para producir esta animación:

MyPlot = ParametricPlot[{3*{Cos[t], Sin[t]}, With[{u = ArcTan[-Sin[t], Cos[t]/2]}, 3*{Sin[u], -Cos[u]} - {Cos[t], Sin[t]/2}]}, {t, 0, 2 Pi}]; myframes = Table[With[{u = ArcTan[-Sin[t], Cos[t]/2]}, With[{pt = 3*{Sin[u], -Cos[u]} - {Cos[t], Sin[t]/2}}, Show[MyPlot, ParametricPlot[pt + {Cos[r], Sin[r]/2}, {r, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> Darker[Green]], Graphics[{PointSize[Large], Point[pt]}]]]], {t, 0, 2 Pi - Pi/20, Pi/20}]; ListAnimate[myframes]

Edit: Aquí es una solución más simple el uso de dos formas congruentes. El límite de cada forma es la unión de dos arcos circulares, cada uno de los cuales es congruente a 1/4 de círculo azul.

Answer 2

Aquí es mío. Hecho antes de que vi solución de Jim (honesto). Pero después de ver su, animado, demasiado (con arce).

Dos copias del triángulo de Reuleaux

http://en.wikipedia.org/wiki/Reuleaux_triangle

mismo tamaño, uno gira por 180 grados de la otra.