Bolsa de trucos de Cálculo Avanzado/Análisis Real/Análisis Complejo

Question

Estoy estudiando para un examen y me he dejado la piel estudiando durante las vacaciones de invierno. Durante el curso de mi estudio he escrito un buen número de trucos, que en mi opinión eran "escandalosos" :-). Lo que significa que no se me ocurriría eso durante un examen si no lo hubiera visto antes.

Un par de ejemplos.

1. A veces, cuando quieres demostrar algo sobre $\max$ , $\min$ , escribes (lo he sacado de Baby Rudin)

$$\max(a,b)=\frac{a+b+ \vert a-b \vert} {2}$$ $$\min (a,b)= \frac{a+b-|a-b|} {2}$$

1. Para demostrar la desigualdad de Hölder (en su caso más simple) Se escribe $\int (f+tg)^2 \geq 0$ y como esto se mantiene positivo se obtiene que el discriminante de este debe ser negativo, y mágicamente se obtiene la desigualdad de Hölder.

2. Cuando quieres mostrar algo sobre los ceros distintos de las funciones complejas, eliminas los ceros de f dividiéndolos con las transformadas de Möbius apropiadas y sigues obteniendo una función analítica que tiene buenas propiedades.

El valor de estos es que pueden utilizarse en otros contextos para escribir pruebas ordenadas.

Eso es lo que quiero decir con "trucos". Esto puede ser difícil de responder, pero ¿cuáles son algunos de los trucos que los sabios tienen bajo la manga cuando se trata de Cálculo avanzado (tanto monovariable como multivariable) y análisis complejo.

Cualquier cosa que tenga que compartir será muy apreciada. Muchas gracias por toda su ayuda.

Answer 1

Aquí hay un par de trucos y planes generales de aproximación que conozco:

• Si $x\in\Bbb R$ y para todos $\epsilon>0$ tenemos que $|x|\leq\epsilon$ entonces $x=0$ . Considero que este hecho es el Análisis Real en pocas palabras.
• Nunca olvides que si $A\subseteq\Bbb R$ está acotado por encima y $M=\sup A$ , entonces para todos los $\epsilon>0$ hay un $y\in A$ tal que $M< y+\epsilon$ . Asimismo, si $A$ está acotado por debajo y $m=\inf A$ , entonces para todos los $\epsilon>0$ hay un $y\in A$ tal que $y-\epsilon< m$ . Este es el vínculo más importante entre $\Bbb R$ de las propiedades algebraicas y de ordenación.
• Nunca subestimes el teorema del binomio aunque sólo quieras una desigualdad. Como ejemplo, mira el teorema 3.20(c) de Rudin y cómo lo utiliza.
• Para todos $x,y\in\Bbb R$ y cualquier $\epsilon> 0$ tenemos la siguiente desigualdad: $$|xy|\leq \frac{\epsilon\,x^2+\epsilon^{-1}\,y^2}{2}$$ Esto puede derivarse de la observación de que $(\epsilon\,|x|-|y|)^2\geq 0$ . Esta desigualdad nos permite decidir el "peso" que queremos dar a un término concreto en un producto. Esto puede utilizarse para demostrar que el producto de funciones integrables de Riemann sigue siendo integrable de Riemann.
• Una simple desigualdad a recordar es $$(a+b)^p\leq 2^p(a^p+b^p)$$ para $a,b,p\geq 0$ . Esto puede derivarse de la desigualdad aún más simple $(a+b)\leq 2\max(a,b)$ , de nuevo para valores positivos. Esta desigualdad se puede utilizar para demostrar que la $L^p$ son espacios vectoriales.
• La prueba M de Weierstrass es el primer amigo al que hay que llamar cuando se trata de series de funciones.
• Pregúntate si el problema en el que estás trabajando puede generalizarse a la topología primero. Piensa en la compacidad y la conectividad y en los teoremas abstractos sobre ellas que ya conoces.
• Quizás la mayor propiedad topológica que $\Bbb R$ tiene es la segunda contrastabilidad. Esto significa que $\Bbb R$ es hereditariamente separable, secuencial, Frechet-Urysohn y c.c.c. Esta propiedad de $\Bbb R$ nos permite considerar las secuencias y la continuidad secuencial en lugar de las vecindades y la continuidad. Como adagio, si se trabaja con $\epsilon$ se pregunta si puede trabajar con $1/n$ con $n\in\Bbb N$ .

Answer 2

Un "truco" que se utiliza mucho en mis cursos de análisis es: en lugar de mostrar que $x \leq y$ directamente, suele ser mucho más fácil demostrar que, para todos $\epsilon > 0:x \leq y + \epsilon$ .

Answer 3

No estoy seguro de si exiges que un truco sea algo excesivamente difícil/creativo o simplemente algo más en la línea de "Ahhh... puede que no se me haya ocurrido, pero ahora que lo he visto, ¡sería capaz de hacerlo de nuevo!", especialmente si aparece una y otra vez.

Si te refieres a esto último, ten en cuenta el viejo método de "sumar y restar" o " $\varepsilon/3$ El "truco" en el que se inserta un nuevo término que suma y luego resta alguna cantidad útil, suele ir seguido de una apelación a la desigualdad del triángulo (o algo similar) y algunas estimaciones conocidas. A ejemplo clásico está en demostrar que el límite uniforme de las funciones continuas es continuo, donde utilizamos esto para fabricar los términos que llevan a la $\varepsilon/3$ 's.

No es una técnica complicada, pero sí recurrente en el análisis.

Answer 4

La desigualdad del triángulo invertido $$|z - w| \geq ||z| - |w||$$ - nótese los signos de valor absoluto iterados a la derecha - es muy útil para demostrar una integral de la forma $\int_\gamma (f(z)/g(z))\,dz$ es pequeño en el curso de la evaluación de una integral real a través del teorema del residuo. Por la desigualdad del triángulo $|\int_\gamma f(z)/g(z)\,dz| \leq \int_\gamma |f(z)/g(z)|\,dz$ pero para obtener un límite superior de $|f(z)/g(z)| = |f(z)|/|g(z)|$ necesitamos una forma de formar un baja con el fin de $|g(z)|$ . Si $g(z) = u(z) - v(z)$ de alguna manera natural, entonces $$\left|\int_{\gamma}\frac{f(z)}{u(z) - v(z)}\,dz\right| \leq \int_\gamma \left|\frac{f(z)}{u(z)-v(z)}\right| \leq \int_{\gamma} \frac{|f(z)|}{||u(z)| - |v(z)||}\,dz,$$ y ahora la geometría subyacente de la situación puede ayudarnos a entender $|u(z)|$ y $|v(z)|$ por separado en el contorno $\gamma$ para seguir avanzando.

Cuando estaba aprendiendo a usar el teorema del residuo en los cálculos de integrales reales, me impresionó bastante cuando vi por primera vez esta desigualdad en acción, y luego me encontré usando esa idea todo el tiempo en dichos problemas para demostrar que alguna integral de contorno era pequeña.

La desigualdad en sí es fácil de derivar utilizando la idea de sumar y restar mencionada por JohnD: $|z| = |z-w+w| \leq |z-w| + |w|$ Así que $|z-w| \geq |z| - |w|$ . Intercambiando los papeles de $z$ y $w$ entonces da $|z-w| \geq |w| - |z|$ . Uno de $|z| - |w|$ o $|w| - |z|$ es $||z| - |w||$ (el otro es $\leq 0$ ), y la desigualdad del triángulo invertido se cae.

Answer 5

Ahora escucha esto. Supongamos que $1/p + 1/q = 1$ . Entonces, si se aprovecha la convexidad de la función logarítmica, se puede demostrar que para $x, y \ge 0$ $$xy \le {x^p\over p} + {x^q\over q}.$$ Esto es fundamental para demostrar la desigualdad de Hölder.