Propiedades de la categoría de objetos algebraicos (simpliciales)

Question

Dada una categoría, uno suele estar interesado en la categoría de objetos de grupos (abelianos) y anillos (conmutativos) en ella. Me gustaría saber qué propiedades de exactitud tienen tales categorías y sus análogos simpliciales, por ejemplo, qué se puede decir de los grupos abelianos simpliciales y de los objetos de anillos conmutativos en alguna categoría $\mathsf C$ dependiendo de las propiedades de integridad y exactitud de $\mathsf C$ .

También me interesa el comportamiento de los objetos y flechas definidos por propiedades de elevación, por ejemplo, injetivos, epis fuertes, etc. Por ejemplo, si $\mathsf C$ tiene suficientes injetivos, ¿cuándo se cumple esto para los objetos algebraicos (simpliciales) en $\mathsf C$ ?

Answer 1

Si $C$ es un regular o Categoría (Barr-)exacta y $T$ es un Teoría algebraica de Lawvere entonces la categoría $Alg_T$ de $T$ -es también regular o exacta, respectivamente. Referencia: Categorías exactas de Michael Barr, teorema 5.11 ( pdf ). En particular, si $C$ es exacta, entonces la categoría de objetos de grupos abelianos $Ab(C)$ es aditiva y exacta, es decir, es una categoría abeliana.

También si $C$ es regular/exacta, entonces también lo es cualquier categoría de funtores $C^D$ para $D$ pequeño. Así que si $C$ es exacta, entonces también lo es, por ejemplo $Ab(C^{\Delta^{op}})$ la categoría de grupos abelianos simplificados en $C$ .

Un conjunto conveniente de axiomas sobre una categoría abeliana que garantiza suficientes injetivos viene dado por la noción de categoría de Grothendieck (según el famoso artículo de Tohoku): una categoría abeliana cocompleta con colímites exactos filtrados y un generador. Supongamos que $C$ es una categoría tal que

• $C$ es Barr-exacto y cocompleto,

• Los colímetros filtrados conmutan con los límites finitos.

Entonces $Ab(C)$ es una categoría cocompleta con colímites exactos filtrados. Para ver esto, ayuda conocer los siguientes hechos:

• Los colímetros filtrados existen en $Ab(C)$ y se calculan igual que en $C$ (esto es cierto para cualquier categoría de álgebras $Alg_T$ ).

• $Ab(C)$ tiene coproductos arbitrarios (basta con tomar un colímite filtrado sobre un sistema de coproductos finitos), por lo que es una categoría abeliana cocompleta.

Sobre la condición de que $Ab(C)$ tiene un generador: bueno, si $C$ tiene un generador $G$ y el functor subyacente $U: Ab(C) \to C$ es monádico, entonces podemos construir un objeto de grupo abeliano libre $F(G)$ y esto será un generador en $Ab(C)$ . Bajo la condición de exactitud relativamente fuerte de que los productos se distribuyen sobre colimits en $C$ se puede demostrar esta monadicidad (se da un resultado más general aquí ), pero por lo demás no estoy seguro de las condiciones generales de $C$ garantizar la existencia de generadores en $Ab(C)$ . Al menos esto nos dice que si $C$ es un topos de Grothendieck, entonces $Ab(C)$ es una categoría de Grothendieck (pero quizás ya lo sabías).

Sobre la construcción de cascos inyectivos en categorías, puede encontrar más información en este documento por Barr.