inversa de moore-penrose de matrices cuadradas complejas

Question

¿Cómo podemos encontrar la inversa de moore penrose de una matriz cuadrada compleja? En realidad necesito un ejemplo concreto y detallado, así que por favor ayúdenme.

Answer 1

Los métodos estándar para calcular el pseudoinverso son los siguientes aquí . Funcionan tanto para matrices reales como complejas.

Si la matriz cuadrada $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ tiene rango completo, entonces obviamente $A^{\dagger}=A^{-1}$ . De lo contrario, puede utilizar la SVD: $$ A=USV^{*}, \quad A^{\dagger}=VS^{\dagger}U^*, $$ donde $U$ y $V$ son unitarios y $$ S=\begin{bmatrix} \tilde{S} & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\quad \text{$\tilde {S} $ nonsingular diagonal,} \quad S^{\dagger}=\begin{bmatrix} \tilde{S}^{-1} & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}. $$

Por ejemplo:

A =

   0.4032 + 0.0876i   0.1678 + 0.0390i   0.5425 + 0.5118i
   0.3174 + 0.3352i   0.9784 + 0.4514i  -0.4416 - 1.3188i
   0.4008 - 0.0504i   0.0979 - 0.2558i   0.2983 + 0.7800i

SVD por [U S V] = svd(A) da:

U =

   0.1255 + 0.2291i  -0.6548 - 0.2332i   0.6638 + 0.0892i
  -0.1338 - 0.8743i  -0.4106 - 0.1032i  -0.1336 + 0.1437i
  -0.0491 + 0.3835i  -0.5726 - 0.0982i  -0.7116 - 0.0807i

S =

   2.0000         0         0
        0    1.0000         0
        0         0         0

V =

  -0.1520 + 0.0000i  -0.6740 + 0.0000i   0.7230 + 0.0000i
  -0.2993 - 0.3682i  -0.5982 - 0.0853i  -0.6206 - 0.1569i
   0.8410 + 0.2111i  -0.4046 + 0.1300i  -0.2005 + 0.1656i

El pseudoinverso $B=A^{\dagger}=VS^{\dagger}U^*$ es por lo tanto

B =

   0.4318 - 0.1398i   0.2869 - 0.1360i   0.3897 - 0.0370i
   0.3507 - 0.0725i   0.4354 - 0.1329i   0.2877 + 0.0565i
   0.3116 - 0.2626i   0.0042 + 0.2584i   0.2388 - 0.2806i

Se puede comprobar que se trata de la pseudoinversa de Moore-Penrose verificando que $ABA=A$ , $BAB=B$ , $(AB)^*=AB$ y $(BA)^*=BA$ aguantar.

Para matrices más grandes y "complicadas", aunque los algoritmos para calcular la SVD son bastante estables, es poco probable que identifiquen valores singulares exactamente nulos. Por lo tanto, hay que considerar la posibilidad de truncar los valores singulares (por ejemplo, del orden " $\text{machine precision}\times\text{largest diagonal element of $ S $}$ ") elementos diagonales de la matriz $S$ (es decir, ponerlos a cero).