Para las sumas del tipo, $$\sum_x \binom{x+c}{c}$$ donde $c$ es un número entero constante, ¿se conocen métodos o líneas argumentales (sencillas) para discutir si dichas sumas son divergentes o no? Especialmente, cuando se toma el límite de la suma que va al infinito (así $x:0\to \infty$ ). Intuitivamente, me imagino que debe ser divergente, porque con el aumento de $x$ vamos a tener números positivos cada vez más grandes apareciendo en la suma. Pero a nivel riguroso, no tengo ni idea de cómo enfocar esto.
Respuesta
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La suma de una secuencia positiva creciente diverge. En efecto, si $u_{n+1}>u_n>0$ para todos $n$ entonces $u_n>u_0>0$ para todos $n$ y $$ \sum_{n=0}^N u_n > (N+1)\, u_0\, . $$ Tomando el límite como $N$ va al infinito da $\sum u_n = +\infty$ . Volviendo a la pregunta original donde $u_n = \binom{n+c}{c}$ podemos ver que $u_0 = \binom{c}{c} = 1$ es positivo. Además, \begin {alineado} u_{n+1} & = \frac {(n+c+1)!}{(n+1)!\N-, c!} \\ &= \frac {(n+1) \times\dots\times (n+c)}{ c!} \frac {n+c+1}{n+1} \\ &= u_n \left ( 1 + \frac {c}{n+1} \right ) \\ &> u_n \N -, . \end {alineado} Por lo tanto, $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ es una secuencia positiva creciente, y su suma diverge. Nótese que $u_n = \binom{n+c}{c}$ es el número máximo de coeficientes de a $n$ -polinomio variado de grado $c$ [ 1 ].
