Valores propios de un producto "Half-Kronecker

Question

El problema:

Dada una matriz de 2 por 2 $C$ (los elementos de la matriz C están dados), y otras dos matrices de 2 por 2 $A$ y $B$ (los elementos de las matrices A y B están dados).

Ahora podemos construir una nueva matriz $D$ que viene dado por el producto directo de (la primera fila de $C$ ) y $A$ el producto directo de (la segunda fila de $C$ ) y $B$ así: $$D = \begin{pmatrix} c_{11} A & c_{12} A \\ c_{21} B & c_{22} B \end{pmatrix}$$ Cuatro Bolcks.

(¿Puede haber una forma mejor de escribir este tipo de producto?)

Como sabemos, si $A=B$ entonces los valores propios de $D$ son productos de valores propios de $C$ y los valores propios de $A$ 4 valores propios en total.

Entonces, ¿podemos conocer los valores propios de $D$ ? ¿Qué podemos decir sobre los valores propios de $D$ ? La ecuación implícita está bien.

¿Este problema está relacionado con los productos Khatri-Rao? ¿Hay alguien que considerado este problema y lo haya resuelto?

Answer 1

Parece muy dudoso que pueda haber una forma cerrada simple para el valores propios en general (es decir, más simple que tomar explícitamente la característica polinomio característico y resolver este polinomio cuártico en radicales).

Un ejemplo: tome $$a_{{1,1}}=-3,a_{{1,2}}=3,a_{{2,1}}=0,a_{{2,2}}=1,b_{{1,1}}=-3,b_{{1,2 }}=-1,b_{{2,1}}=-2,b_{{2,2}}=-2,c_{{1,1}}=-2,c_{{1,2}}=3,c_{{2,1}}=-3, c_{{2,2}}=2 $$ para que $$D = \pmatrix{ 6&-6&-9&9\cr0&-2&0&3 \cr 9&3&-6&-2\cr 6&6&-4&-4 \cr}$$ Su polinomio característico es $t^4+6 t^3-27 t^2+230 t-300$ que es irreducible sobre los racionales. Por otro lado, $A$ y $B$ tienen valores propios enteros ( $(1,-3)$ y $(-1,-4)$ respectivamente.