Anillo local de una superficie: expresión polinómica

Question

Dejemos que $(X,\mathscr O_X)$ sea una superficie lisa sobre un campo $k$ (esquema bidimensional, regular, noetheriano....) y fijar un punto $x\in X$ . Entonces, si completamos el anillo local $\mathscr O_{X,x}$ en su ideal máximo obtenemos el isomorfismo: $$\widehat{\mathscr O_{X,x}}\cong k(x)[[t,u]]$$ Así que mi pregunta es la siguiente:

Tenemos la inclusión $\mathscr O_{X,x}\subset \widehat{\mathscr O_{X,x}}$ ; cómo podemos expresar los elementos $\mathscr O_{X,x}$ como series de potencia? ¿Son sólo aquellos elementos en $k(x)[[t,u]]$ con una expansión en serie de potencia finita? ¿Cuál es la relación entre $\mathscr O_{X,x}$ y $k(x)[t,u]$ ?

Answer 1

Dejemos que $\mathfrak{m}$ denotan el ideal máximo de $\mathscr{O}_{X,x}$ , y que $k = k(x) = \mathscr{O}_{X,x}/\mathfrak{m}$ .

Reclamación: Supongamos que $\{a_1,a_2\}$ constituye una base para $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ (es decir, $a_1,a_2$ es un sistema de parámetros regulares). Entonces $gr_{\mathfrak{m}}\mathscr{O}_{X,x} \cong k[a_1,a_2]$ .

Prueba: Por el lema de Nakayama, $\{a_1,a_2\}$ genera $\mathfrak{m}$ como $\mathscr{O}_{X,x}$ -y, por tanto, sus imágenes generan el anillo graduado asociado. Por tanto, $k[a_1,a_2]$ se proyecta sobre el gradiente asociado. Si el núcleo de esta suryección $I$ no es trivial, entonces $\dim k[a_1,a_2]/I < \dim k[a_1,a_2] = 2$ pero la dimensión del gradiente asociado es $2$ por lo que el mapa es un isomorfismo.

Ahora definimos el isomorfismo. Como la terminación es un límite inverso, basta con definir mapas compatibles en $\mathscr{O}_{X,x}/\mathfrak{m}^n$ para todos $n$ . Considere $f_n: k[[t,u]] \to \mathscr{O}_{X,x}/\mathfrak{m}^n$ dado por $t\mapsto a_1, u \mapsto a_2$ . Dicho mapa está bien definido ya que $a_1$ y $a_2$ son nilpotentes en $\mathscr{O}_{X,x}$ . Encajan para definir un mapa en el límite inverso $f: k[[t,u]] \to \widehat{\mathscr{O}_{X,x}}$ . Este mapa es un isomorfismo en los anillos graduados asociados, y por tanto es un isomorfismo.

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Editar: Consideremos el isomorfismo $f: k[[t,u]] \to \widehat{\mathscr{O}_{X,x}}$ construido arriba. El mapa $\mathscr{O}_{X,x} \to \widehat{\mathscr{O}_{X,x}}$ se define tomando el límite inverso de los mapas $\mathscr{O}_{X,x} \to \mathscr{O}_{X,x}/\mathfrak{m}^n$ sobre todo $n$ y, por lo tanto, los mapas $a_1$ y $a_2$ a las imágenes de $t$ y $u$ . Por lo tanto, cualquier elemento de $k[t,u]$ se asigna a un elemento de $\mathscr{O}_{X,x}$ .

Sin embargo, la inversa, demostrada sólo con la hipótesis de que $\mathscr{O}_{X,x}$ es local regular, implicaría que todo anillo local regular es isomorfo a un anillo polinómico. Esto no es cierto. Consideremos, por ejemplo $X = \mathrm{Spec} \, K[[t_1,t_2]]$ que como espectro de un anillo local tiene un punto cerrado $x$ correspondiente a $(t_1,t_2)$ . El anillo local $\mathscr{O}_{X,x}$ es igual a $K[[t_1,t_2]]$ y por lo tanto es isomorfo a través del mapa natural a su terminación.

Si $\mathscr{O}_{X,x}$ es localmente isomorfo a $\mathbb{A}^2$ Entonces obtenemos que en cada punto $x$ existe un sistema de parámetros regulares que genera $\mathscr{O}_{X,x}$ como $k(x)$ -lo cual es suficiente para demostrar la inclusión inversa.