Encontrar el número mínimo de pruebas

Question

Perdón por el título, pero no se me ocurría otra cosa, en realidad no son deberes, sino una pregunta de un libro de preguntas de matemáticas en el que estoy atascado, pero aun así lo he etiquetado en deberes.

La pregunta es la siguiente:

Un instituto realiza 32 simulacros de examen, los estudiantes tienen la opción de presentarse cualquier número de simulacros, incluso 0. El alumno A da 16, el alumno B da 18, el estudiante C da 20. ¿Cuál es el número mínimo de simulacros que fueron escrito por más de uno entre A, B y C.

La forma en que lo abordé fue la siguiente:

Dado que el total de simulacros realizados por A, B y C si los sumamos son 54, y el total de simulacros realizados por el instituto fueron 32, por lo que al menos 54 - 32 = 22 simulacros podrían haber sido escritos por más de uno.
El problema es que estoy atascado aquí y no puedo avanzar.

Creo que este problema puede resolverse con la teoría de conjuntos, pero al ser un problema de aptitud, creo que hay algo más y se puede resolver lógicamente sin entrar en muchas matemáticas.

Answer 1

Minimizaremos el número de exámenes comunes escritos si nos aseguramos de que cada examen escrito por al menos dos personas sea escrito por las tres. (Por supuesto, aún no está claro que esto pueda arreglarse).

Si se puede arreglar, que $n$ sea el número de exámenes realizados por los tres. Entonces A escribirá $16-n$ exámenes que nadie más escribe, B escribirá $18-n$ y C escribirá $20-n$ . Así, $$n+(16-n)+(18-n)+(20-n)\le 32.$$ Resuelve. Obtenemos $n\ge 11$ .

Podemos organizar $n$ para ser exactamente $11$ dando el primer $11$ exámenes a todo el mundo. Además, A escribe exámenes $12$ a $16$ B escribe $17$ a $23$ y C escribe $24$ a $32$ .