Tratando de demostrar un límite multivariable

Question

Estoy teniendo problemas para probar el siguiente límite multivariable:

$$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{|x|+|y|} $$

Ya he probado los diferentes caminos y el límite es 0, sin embargo estoy atascado tratando de demostrarlo porque esos valores absolutos en el denominador, utilizando el teorema que nuestro profesor nos enseñó para hacerlo.

El teorema 1.) 2.) dice así:

$$ 1.) |f(x,y) - L| < g(x,y)$$

Donde L es el límite que hemos calculado a partir de las diferentes trayectorias que hemos obtenido, 0 en este caso, entonces se supone que debemos calcular el $g(x,y)$ función por:

$$ |f(x,y) - 0 | = |\frac{xy}{|x|+|y|} - 0 | $$

Esta es la parte donde estoy atascado porque se supone que debemos calcular que $g(x,y)$ a través de esa fórmula, sin embargo me estoy atascando porque no sé cómo operar con este valor absoluto en el denominador $||x|+|y||$ ¡cualquier ayuda en este caso sería muy apreciada!

$$ 2.) \lim\limits_{(x.y) \to (x_o,y_o)} g(x,y) = 0$$

Este es sólo para evaluar la $g(x,y)$ que obtuvimos de la fórmula anterior y debería ser 0.

Answer 1

$|\frac {xy}{|x|+|y|}| \le \frac {|xy|}{|y|} = |x|$ Asimismo, $|\frac {xy}{|x|+|y|}| \le |y|$

Sea como sea que quieras definir tu métrica de distancia, $d((x,y),(0,0)) \le \max(|x|,|y|)$

$d((x,y),(0,0)) < \delta \implies |\frac {xy}{|x|+|y|}| < \delta$

$\delta = \epsilon$

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tal que $d((x,y),(0,0))<\delta \implies |f(x,y) - 0| < \epsilon.$

Answer 2

Una forma de avanzar es transformar a coordenadas polares $(r,\theta)$ donde $x=r\cos(\theta)$ y $y=r\sin(\theta)$ . Entonces, podemos escribir

$$\begin{align} \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right|&=\left|\frac{r^2\cos(\theta)\sin(\theta)}{r|\cos(\theta)|+r|\sin(\theta)|}\right|\\\\ &=\left|\frac{\frac12 r \sin(2\theta)}{|\cos(\theta)|+|\sin(\theta)|}\right|\\\\ &\le \frac12 r\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $r=\sqrt{x^2+y^2}<\delta =2\epsilon$