Sea Q la región sobre el plano $8z=4-x-y$ y abajo por el cono $64z^2=x^2+y^2$ . ¿Cómo puedo configurar la integral triple para encontrar el volumen de Q, utilizando coordenadas esféricas? Sólo necesito ayuda con la parte de la configuración, yo haré el resto.
Respuesta
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Esta no va a ser una bonita integral, pero si insistes :-), aquí tienes cómo configurarla:
Con
$$ \begin{align} x&=r\sin\theta\cos\phi\;,\\ y&=r\sin\theta\sin\phi\;,\\ z&=r\cos\theta\;, \end{align} $$
la ecuación del cono se convierte en
$$ 64r^2\cos^2\theta=r^2\sin^2\theta\,(\cos^2\phi+\sin^2\phi) $$
y por lo tanto
$$\theta=\arccos\frac1{\sqrt{65}}\;.$$
La ecuación del plano se convierte en
$$ 8r\cos\theta=4-r\sin\theta\cos\phi-r\sin\theta\sin\phi\;, $$
y resolviendo para $r$ produce
$$ r=\frac4{8\cos\theta+\sin\theta(\cos\phi+\sin\phi)}\;. $$
Así, el volumen viene dado por la integral
$$ \int_0^{2\pi}\mathrm d\phi\int_0^{\arccos1/\sqrt{65}}\mathrm d\theta\sin\theta\int_0^{4/(8\cos\theta+\sin\theta(\cos\phi+\sin\phi))}\mathrm drr^2\;. $$
