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pregunta de notación (forma bilineal)

Así que tengo que demostrar lo siguiente para un isomorfismo dado ϕ:VVϕ:VV donde VV es el espacio dual de VV demostrar que sϕ(v,w)=ϕ(v)(w)sϕ(v,w)=ϕ(v)(w) define una forma bilineal no degenerada.

Mi pregunta : ¿Es posible que ϕ(v)(w)ϕ(v)(w) denota el mapa de vv a una función lineal ww ? (en este caso tuve serios problemas para mostrar la linealidad en el segundo argumento, realmente confuso.

O

tal vez sólo significa ϕ(v)ϕ(v) veces ww donde ww es el valor escalar ( obtenemos ww aplicando vv en la función lineal a la que se mapea)

Acabo de empezar hoy con los espacios duales y he hecho todo lo posible con la notación, pero no he podido resolverlo, por favor si tienes alguna idea por favor ayúdame con la notación, voy a resolver el problema por mi cuenta.

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Lennart Regebro Puntos 136

Tenga en cuenta que ϕϕ es un mapa de VV a VV . Así que para cada vVvV obtenemos un elemento ϕ(v)Vϕ(v)V . Ahora VV es el espacio de los funcionales lineales sobre VV , es decir V={α:VRα is linear}. Así, cada elemento de V es una función de V a R . Entonces para v,wV la notación ϕ(v)(w) significa (ϕ(v))(w), es decir la función ϕ(v):VR toma wV como su argumento y obtenemos un elemento de R .

Así que sϕ es realmente un mapa de la forma sϕ:V×VR, (v,w)(ϕ(v))(w).

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rschwieb Puntos 60669

ϕ:VV

ϕ(v)V significa que ϕ(v):VF

ϕ(v)(w) es sólo el valor de ϕ(v) en w .

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Filip Ekberg Puntos 22189

Este tipo de notación ocurre a veces. En ciertos contextos tendrás una función de algún conjunto a un conjunto de funciones. En tu caso, ϕ:VV se asocia a cada vector v una función ϕ(v) por lo que al ser esta última una función ϕ(v)V es sólo ϕ(v):VF donde F es el campo, por lo que es perfectamente correcto escribir ϕ(v)(w) por la acción de ϕ(v) en el vector w .

Así que, en general, supongamos que A es un conjunto cualquiera y F es un conjunto de funciones de algún otro conjunto B a algún otro conjunto C entonces si definimos ϕ:AF para cada aA tenemos ϕ(a):BC para que la acción sobre algún bB se escribe simplemente como ϕ(a)(b) . Tenga en cuenta que algunas personas prefieren escribir (ϕ(a))(b) Sin embargo, la primera notación es más común.

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