pregunta de notación (forma bilineal)

Question

Así que tengo que demostrar lo siguiente para un isomorfismo dado $\phi : V\rightarrow V^*$ donde $V^*$ es el espacio dual de $V$ demostrar que $s_{\phi}(v,w)=\phi(v)(w)$ define una forma bilineal no degenerada.

Mi pregunta : ¿Es posible que $\phi(v)(w)$ denota el mapa de $v$ a una función lineal $w$ ? (en este caso tuve serios problemas para mostrar la linealidad en el segundo argumento, realmente confuso.

O

tal vez sólo significa $\phi(v)$ veces $w$ donde $w$ es el valor escalar ( obtenemos $w$ aplicando $v$ en la función lineal a la que se mapea)

Acabo de empezar hoy con los espacios duales y he hecho todo lo posible con la notación, pero no he podido resolverlo, por favor si tienes alguna idea por favor ayúdame con la notación, voy a resolver el problema por mi cuenta.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\phi$ es un mapa de $V$ a $V^\ast$ . Así que para cada $v \in V$ obtenemos un elemento $\phi(v) \in V^\ast$ . Ahora $V^\ast$ es el espacio de los funcionales lineales sobre $V$ , es decir $$V^\ast = \{\alpha: V \longrightarrow \Bbb R \mid \alpha \text{ is linear}\}.$$ Así, cada elemento de $V^\ast$ es una función de $V$ a $\Bbb R$ . Entonces para $v, w \in V$ la notación $$\phi(v)(w)$$ significa $$(\phi(v))(w),$$ es decir la función $\phi(v): V \longrightarrow \Bbb R$ toma $w \in V$ como su argumento y obtenemos un elemento de $\Bbb R$ .

Así que $s_\phi$ es realmente un mapa de la forma $$s_\phi: V \times V \longrightarrow \Bbb R,$$ $$(v, w) \mapsto (\phi(v))(w).$$

Answer 2

$\phi:V\to V^\ast$

$\phi(v)\in V^\ast$ significa que $\phi(v):V\to F$

$\phi(v)(w)$ es sólo el valor de $\phi(v)$ en $w$ .

Answer 3

Este tipo de notación ocurre a veces. En ciertos contextos tendrás una función de algún conjunto a un conjunto de funciones. En tu caso, $\phi : V \to V^{\ast}$ se asocia a cada vector $v$ una función $\phi(v)$ por lo que al ser esta última una función $\phi(v) \in V^{\ast}$ es sólo $\phi(v): V \to \mathbb{F}$ donde $\mathbb{F}$ es el campo, por lo que es perfectamente correcto escribir $\phi(v)(w)$ por la acción de $\phi(v)$ en el vector $w$ .

Así que, en general, supongamos que $A$ es un conjunto cualquiera y $\mathcal{F}$ es un conjunto de funciones de algún otro conjunto $B$ a algún otro conjunto $C$ entonces si definimos $\phi : A \to \mathcal{F}$ para cada $a \in A$ tenemos $\phi(a) : B \to C$ para que la acción sobre algún $b \in B$ se escribe simplemente como $\phi(a)(b)$ . Tenga en cuenta que algunas personas prefieren escribir $(\phi(a))(b)$ Sin embargo, la primera notación es más común.