Raíz de una función continua mediante el teorema de Rolle

Question

$$f(x)= 1 + e^x\cos(x)$$ $$g(x)= 1 + e^x\sin(x)$$

Demuestre que existe al menos una raíz de $g$ entre dos raíces de $f$

¿Cómo empiezo a responder a esta pregunta y necesito utilizar el Teorema del Valor Intermedio?

Answer 1

El teorema de Rolle dice que para cualquier función diferenciable $h$ hay un cero de $h'$ entre dos ceros cualesquiera de $h$ . (Es un poco más general, dos puntos cualesquiera donde $h$ alcanza el mismo valor).

Las funciones dadas no tienen la forma que $g = f'$ pero están estrechamente relacionados. Podemos transformar el problema en una forma en la que se aplique el teorema de Rolle multiplicando ambas funciones por una función adecuada que no desaparezca en ninguna parte, sea

$$\tilde{f}(x) = e^{-x} \cdot f(x);\quad \tilde{g}(x) = e^{-x}\cdot g(x).$$

Entonces $\tilde{f}$ tiene los mismos ceros que $f$ y $\tilde{g}$ tiene los mismos ceros que $g$ . Y aunque no tenemos $\tilde{f}' = \tilde{g}$ están lo suficientemente relacionados como para que se aplique el teorema de Rolle.