Suficientes proyecciones y $F$ preservar los límites implica $G$ preserva las epi's.

Question

Ejercicio: Dejemos que $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ ser categorías, $G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ y $F : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ una adición $F \dashv G$ . Supongamos que $\mathcal{D}$ tiene suficientes proyecciones y $F$ preserva los proyectivos. Demostrar que $G$ conserva los epimorfismos.

Mi intento: Supongamos que $f : x \to y \in \mathcal{C}$ es epi, entonces tenemos que demostrar que $Gf : Gx \to Gy$ es epi. Es decir, para todos los $g, h : Gy \to z$ en $\mathcal{D}$ debemos tener $gFf = hFf$ implica $g = h$ . He intentado escribir un proyectivo para $Fx$ y $Fy$ pero eso parece no llevar a ninguna parte.

Answer 1

Supongamos que $f : X \to Y$ es un epimorfismo en $\mathcal{C}$ . Queremos demostrar que $G f : G X \to G Y$ es un epimorfismo.

Dejemos que $q : B \to G Y$ sea un epimorfismo en $\mathcal{D}$ donde $B$ es proyectiva. Entonces $F B$ es proyectiva, por lo que tenemos un morfismo $x : F B \to X$ en $\mathcal{C}$ tal que $f \circ x = \epsilon_Y \circ F q$ , donde $\epsilon_Y : F G Y \to Y$ es el condominio de adición. Por lo tanto, $G f \circ G x \circ \eta_B = q$ . Pero $q : B \to G Y$ es un epimorfismo, por lo que $G f : G X \to G Y$ también es un epimorfismo.