¿Podemos utilizar los diagramas de Venn para "demostrar" teoremas sobre acontecimientos?

Question

Considere la igualdad $P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ .

Podemos demostrarlo de varias maneras (a partir de los axiomas de la probabilidad, de la teoría de la medida, etc.)

Sin embargo, un simple diagrama de Venn ofrece una fácil explicación geométrica.

Mi pregunta es, ¿Puede utilizarse un diagrama de Venn para establecer una prueba formal de una ecuación de probabilidad, como la regla de la suma?

Answer 1

A Diagrama de Venn puede ayudar a guiar nuestros pensamientos e intuiciones. Pero cualquier diagrama de Venn muestra sólo una composición de eventos (conjuntos) $A, B \subseteq \Omega$ . Por ejemplo, la figura siguiente

espectáculos:

1. $A, B$ como círculos de igual radio y área (los elegí así),

2. $A, B$ con una intersección no vacía.

Pero el regla de adición ,

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B),$$

tiene generalmente para cualquier $A,B \subseteq \Omega$ , incluyendo pero no limitado a:

• $P(A) \ll P(B)$ ,
• $A \cap B = \emptyset$ ,
• $A = \emptyset$ ,
• $B = A^c$ ,
• etc. .

Para cubrir todos estos casos en un solo barrido (prueba), no nos basamos en los diagramas de Venn sino en las leyes establecidas de Lógica .