Dejemos que $p$ sea un número primo impar. Demostrar que existen infinitos valores de $n\in \mathbb{N}$ tal que: $p\mid n2^n +1$ .
$\textbf{My attempt}$ : He demostrado que $p\mid (p-1)2^{p-1}+1$ . Por lo tanto, primero definimos $n=p-1$ y luego $n\mid n2^n +1$ sostiene. Ya que por cungruencias $p\mid (p-1)2^{p-1}+1$ significa que $(p-1)2^{p-1}\equiv -1 \equiv p-1 \pmod{p}$ . Ahora bien, como $(p,p-1)=1$ porque son consecutivos, podemos multiplicar la ecuación por $p-1$ , sin ningún cambio en el módulo, y obtenemos $(p-1)^{2}\cdot 2^{p-1}\equiv (p-1)^2 \pmod{p}$ . Recordemos que $p-1$ es el inverso de sí mismo módulo $p$ si y sólo si $p$ es primo. Por lo tanto, $$(p-1)^{2}\cdot 2^{p-1}\equiv (p-1)^2 \equiv 1\pmod{p}$$ Volvemos a multiplicar por $p-1$ y por lo tanto: $$(p-1)^3 \cdot 2^{p-1}\equiv -1 \pmod{p}$$ Por el pequeño teorema de Fermat, $$(2^{p-1})^{(p-1)^2}\equiv 1 \pmod{p}$$ Concluimos que: $$(p-1)^3\cdot 2^{(p-1)^3}\equiv -1\pmod{p}$$ Así que de nuevo podemos definir $n=(p-1)^3\neq p-1$ y con ello obtenemos otro valor diferente de $n$ , de tal manera que $p\mid n2^{n}+1$ y así procedemos hasta obtener infinitos números diferentes de $n$ . $\textbf{Q.E.D}$
- Ahora, pregunto si lo hice bien porque mostré un algoritmo, tal que $p\mid n2^n+1$ para cada potencia impar de $p-1$ pero no lo he anotado. Gracias.
