distribución de $\frac{X}{\sqrt{V(X)}}$

Question

Una máquina produce artículos y el número de artículos defectuosos producidos se comporta según un proceso de Poisson a razón de 10 artículos defectuosos por hora. Sea X el número de artículos defectuosos producidos en 2,5 horas de producción. $Y = \frac{X}{\sqrt{V (X)}}$ tiene una distribución aproximada:

Lo he hecho:

$X$ tiene distribución $P(25)$ con $E(X)=V(X)=25$

$\frac{X}{\sqrt{V(X)}} = \frac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}} + \frac{E(X)}{\sqrt{V(X)}} = \frac{X-25}{5} + 5$

Sé que $\frac{X-25}{5}$ tiene distribución $\mathcal{N}(0,1)$ pero no conozco la distribución de $\frac{X-25}{5} + 5$

Pensando lógicamente también podría ser $\mathcal{N}(5,1)$ o $\mathcal{N}(0,6)$ o incluso $\mathcal{N}(5,6)$

La solución es $\mathcal{N}(5,1)$ pero no puedo entender por qué...

Answer 1

Si $Y$ tienen un comportamiento normal $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ distribución, entonces $\mu=\mathbb E[Y]$ y $\sigma^2=\text{Var}(Y)$ . En este caso $Y+a$ también tienen una distribución normal con parámetros $\mathbb E[Y+a]=\mathbb E[Y]+a$ , $\text{Var}(Y+a)=\text{Var}(Y)$ .

Así que los parámetros de aproximado distribución normal para $\frac{X-25}{5}+5$ son $0+5$ y $1$ .