Consideremos el subespacio métrico $[0,1] \subseteq \mathbb{R}$ con la métrica definida en el sentido habitual, y la bola $B(0,1)$ definida como la bola centrada en $x=0$ con radio $1$ .
Ahora bien, como sólo la mitad derecha de la pelota "existe" dentro de nuestro subespacio, ¿podemos seguir diciendo que la pelota $B(0;1)$ ¿existe?
Creo que esperar el mismo resultado intuitivo para bolas abiertas en diferentes espacios métricos no es una buena idea en general.
Por ejemplo, tome $\Bbb R$ con la métrica discreta $d(x,y)=0$ si $x=y$ y $d(x,y)=1$ de lo contrario. Entonces $B(0,r)=\Bbb R$ si $r>1$ y $\{0\}$ si $r\leq 1$ .
Por supuesto, es bastante poco intuitivo que lo que hay en la bola no dependa del radio, excepto si es mayor o menor que $1$ . Siguen siendo las bolas abiertas en ese espacio.
Sin embargo, puede esperar encontrar el mismo establece en dos métricas equivalentes, como $\Bbb R^2$ con $d_E$ la métrica euclidiana estándar y $d_\infty(x,y)=\max\{|x_1-y_1|, |x_2-y_2|\}$ .
La métrica euclidiana da bolas abiertas que parecen discos, y creo que con $d_\infty$ parecen cuadrados, pero todos los abiertos establece son los mismos.
Por último, si usted tomó $(0,1)$ como un subespacio métrico de $\Bbb R$ , tendrías unos intervalos abiertos ordinarios como bolas abiertas. Sin embargo, el hecho de que algunas de las bolas abiertas sean ' Falta ' la mitad de sus elementos habituales podría atribuirse intuitivamente al hecho de que estás utilizando un subespacio, por lo que faltan elementos, o de otra manera al hecho de que ahora estás utilizando un espacio métrico acotado, por lo que después de algún radio finito no obtienes nuevos elementos a una bola abierta.
Sin embargo, esa intuición se rompe en otros ejemplos.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
