Demuestre que si un grupo $G$ tiene orden impar, cualquier subgrupo $H$ del índice 3 en $G$ es normal en $G$ ?

Question

Demuestre que si un grupo $G$ tiene orden impar, cualquier subgrupo $H$ del índice 3 en $G$ es normal en $G$ .

Creo que esto equivale a lo siguiente: Sea $H$ y $K$ sean subgrupos de un grupo $G$ con $K \leq H$ . Podemos entonces demostrar que $[G:K]=[G:H] \cdot [H:K]$ . Sin embargo, no estoy seguro de cuál es el mejor enfoque en este caso. ¿Cuál es una buena manera de demostrar este teorema?

Esta pregunta es diferente de Subgrupo normal de índice primo porque no estamos asumiendo que $3$ divide el orden de $G$ .

Answer 1

Si el orden de un subgrupo es impar y el índice del subgrupo es $3$ esto implica que $3$ divide el orden del grupo.ya que $3$ es el menor primo que divide el orden del grupo.Por tanto, todo subgrupo de índice $3$ es normal