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Series temporales y variables instrumentales

Tengo un modelo de series temporales que sufre de endogeneidad. En otros contextos sería razonable utilizar variables instrumentales. Sin embargo, no he visto que esto se haga antes con series temporales. ¿Puedo preguntar si es válido utilizar un IV en este contexto y si hay algún ejemplo en la literatura económica?

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Christoph Hanck Puntos 4143

Considere una serie $Y_t$ generado como un $ARMA(1,1)$ proceso $$ Y_t=\phi Y_{t-1}+\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1} $$ Supongamos que nuestro interés se centra en estimar $\phi$ . Aquí tenemos un problema de endogeneidad, ya que el término de error $\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1}$ está correlacionada con el regresor $Y_{t-1}$ por lo que OLS de $Y_{t}$ en $Y_{t-1}$ no estimaría de forma coherente $\phi$ : $$ \hat{\phi}_{OLS}=\frac{\sum_tY_{t-1}Y_{t}}{\sum_tY_{t-1}^2}=\frac{\frac{1}{T}\sum_tY_{t-1}Y_{t}}{\frac{1}{T}\sum_tY_{t-1}^2}\to_p\frac{\gamma_1}{\gamma_0}, $$ donde la convergencia en probabilidad se deduce de los argumentos estándar sobre los plims de $\frac{1}{T}\sum_tY_{t-j}Y_{t-l}$ y el teorema de la cartografía continua. Ahora bien, se sabe que $\gamma_0=\sigma^2\frac{1+\theta^2+2\phi\theta}{1-\phi^2}$ y $\gamma_1=\sigma^2\frac{(\phi+\theta)(1+\phi\theta)}{1-\phi^2}$ . Por lo tanto, \begin {eqnarray*} \hat { \phi }& \to_p & \frac { \sigma ^2 \frac {( \phi + \theta )(1+ \phi\theta )}{1- \phi ^2}}{ \sigma ^2 \frac {1+ \theta ^2+2 \phi\theta }{1- \phi ^2}} \\ &=& \frac {( \phi + \theta )(1+ \phi\theta )}{1+ \theta ^2+2 \phi\theta } \neq\phi , \end {eqnarray*} a menos que el proceso sea un $AR(1)$ es decir, a menos que $\theta=0$ .

Estimación de variables instrumentales de $\phi$ utilizando $Y_{t-2}$ como instrumento para $Y_{t-1}$ a su vez, es consistente para $\phi$ el estimador IV es $$ \hat{\phi}_{IV}=\frac{\sum_tY_{t-2}Y_{t}}{\sum_tY_{t-2}Y_{t-1}}=\frac{\frac{1}{T}\sum_tY_{t-2}Y_{t}}{\frac{1}{T}\sum_tY_{t-2}Y_{t-1}}\to_p\frac{\gamma_2}{\gamma_1} $$ Además, sabemos que la función de autocovarianza de un $ARMA(1,1)$ es tal que $\gamma_2=\phi\gamma_1$ . Por lo tanto, $$\hat{\phi}_{IV}\to_p\phi$$ Esto funciona porque el término de error en este modelo IV, $\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1}$ no está correlacionado con el instrumento, que a su vez está correlacionado con el regresor $Y_{t-1}$ debido a la estructura autorregresiva del proceso.

Aunque este sencillo ejemplo (y creo que los ejemplos sencillos son útiles) muestra cómo utilizar los instrumentos en el análisis de series temporales, es algo artificial en el sentido de que si uno conocía que el proceso es $ARMA(1,1)$ se podría estimar dicho proceso directamente. Y es algo frágil en el sentido de que si el proceso fuera $ARMA(1,2)$ , $Y_{t-2}$ dejaría de ser un instrumento válido, ya que ahora estaría correlacionado con el nuevo error $\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\theta_2\epsilon_{t-2}$ .

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