Deje que $f$ sea continua en $[a,b]$. Supongamos que se cumple $\int_c^d f(x)dx=0$ para todo $a\le c. Muestre que $f$ debe ser identicamente cero en $[a,b]$.
He resuelto el problema tal como se indica en la respuesta publicada por mí, pero se agradecerá una mejor solución. ¿Es la respuesta lo suficientemente rigurosa?
Tu demostración está bien. Pero aquí hay una solución un poco diferente:
Supongamos que $f \neq 0$. Esto implica que $\exists c \in (a, b) $ tal que $f(c) \neq 0$. (No puede ser diferente de cero solo en los extremos debido a la continuidad). Supongamos que $f(c) >0$. Entonces, a partir de la definición de continuidad, tenemos que $\exists \varepsilon > 0$ tal que $f(x) > \frac{f(c) } {2}$ en un intervalo centrado en $c$ con radio $\varepsilon$. Pero entonces podemos acotar la integral por debajo de $f$ en este intervalo por $\frac{f(c)} {2} 2\varepsilon$, que es positivo.
Tu comentario sobre los puntos finales no está claro. Si $f$ no es idénticamente $0$, entonces significa que hay un $c \in [a, b]$ con $f(c) \neq 0. No veo cómo la continuidad evita que $c$ sea un punto final.
Hay un $c\in[a, b]$ con $f(c) \neq 0$ entonces por continuidad en $c$ tenemos un subintervalo $[p, q] \subseteq [a, b]$ con $p
@ParamanandSingh Lo que quería decir es que no podemos tener que $f$ sea distinto de cero solo en los extremos, porque la continuidad garantizará que tenga el mismo signo en una esfera alrededor del extremo.
Dado que $f$ es continua en $[a,b]$. Además, se da que $\int_c^df(x)dx=0$, se cumple para todo $a\le c. Ahora asumamos que $f(x)>0$ para cierto $x_1\in(a,b)$. Entonces, dado que $f$ es continua en $[a,b]\implies \exists \delta>0,$ tal que $f(x)>0$ $\forall, x\in(x_1-\delta,x_1+\delta).$ Ahora tomemos $x_2>x_3\in(x_1-\delta,x_1+\delta)$.
Aplicando el TVM para integrales en el intervalo $[x_3,x_2]$ para la función $f$, podemos concluir que $\exists c\in(x_3,x_2)$, tal que $$f(c)=\frac{\int_{x_3}^{x_2}f(x)dx}{x_2-x_3}.$$ Pero $\int_{x_3}^{x_2}f(x)dx=0$, lo que implica que $f(c)=0$. Pero, dado que $c\in(x_3,x_2)\implies f(c)>0.$ Contradicción. Por lo tanto, $\nexists x\in(a,b)$, tal que $f(x)>0$.
Un argumento similar dice que, $\nexists x\in(a,b)$, tal que $f(x)<0$.
Por lo tanto, $\forall x\in(a,b), f(x)=0$.
Esto también implica que $\lim_{x\to a^+}f(x)=0$ y $\lim_{x\to b^-}f(x)=0$.
Ahora, dado que $f$ es continua en $a$ y $b$, implica que $f(a)=f(b)=0$.
Esto implica que $\forall x\in[a,b]$, tenemos que $f(x)=0$.
Eso es un poco torpe. Para $x_0\in(a,b)$ asumir $y=f(x_0)>0$, entonces $f(x_0)-y/2>0$. Por lo tanto, por continuidad hay un conjunto abierto $(c,d)\subset (a,b)$ donde $f(x_0)-y/2 > 0$, entonces $f(x_0) > y/2. Se sigue que $\intop_c^d f(x)dx \ge y(d-c)/2$.
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