¿Lo que ' s mi confusión con la regla de la cadena? (Diferenciar $x^x$)

Question

Al derivar $x^x$, ¿por qué no puede usted elegir $u$ $x$ y encontrar $\dfrac{d(x^u)}{du} \dfrac{du}{dx} = x^x$? ¿O podría ir por el otro camino y encontrar a $\dfrac{d(u^x)}{du}\dfrac{du}{dx}$, que $\ln(x)\cdot{x^x}$? Ambos métodos parecen ser igualmente erróneo.

Answer 1

Ambos métodos están mal, pero la solución es fácil: la solución es la suma de las dos propuestas, y esto no es por casualidad !

Naturalmente, el giro de una sola instancia de $x$ a una constante no puede ser el camino, ya que no es simétrica. La forma correcta es mediante la diferenciación en cada instancia en turno, y se justifica por la regla de la cadena con derivadas parciales:

$$\frac{df(u,v)}{dx}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\frac{dv}{dx}.$$ En otras palabras, mantener una variable de instancia, mientras que el otro permanece constante y la suma de los dos casos.

Aquí, $f(u,v)=u^v$$u=v=x$, y

$$\frac{dx^x}{dx}=\frac{du^v}{dx}=vu^{v-1}\cdot1+\ln(u)u^v\cdot1=x^x+\ln(x)x^x,$$ or with a more intuitive notation$$\frac{dx^x}{dx}=\frac{dx^v}{dx}\cdot1+\frac{du^x}{dx}\cdot1=vx^{v-1}+\ln(u)u^x=x^x+\ln(x)x^x.$$

---

Esto funciona con tantas instancias de $x$ como te gusta. Por ejemplo, $x^{x+x^2}$ visto como $u^{v+w^2}$ rendimientos

• la variación de la primera instancia, $(v+w^2)x^{v+w^2-1}$;

• la variación de la segunda instancia, $\ln(u)u^{x+w^2}$;

• la variación de la tercera instancia, $\ln(u)u^{v+x^2}2x$.

Luego a nivel mundial

$$(1+x+\ln(x)(1+2x))e^{x+x^2}.$$

Answer 2

Si usted trabaja con la definición formal de la regla de la cadena, verá cómo lo que estamos tratando de hacer no tiene ningún sentido.

Pero si quieres seguir con el abuso de notación $\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$, yo diría que el corazón del problema es en su afirmación de que $\frac{d(x^u)}{du}=x^u\log x$. Esto sólo es válido si $x$ es constante, y no se aplica si $x$ es una función de $u$ (en nuestro caso, $x=u$).

Esa es la diferencia entre un total derivado $\frac{d}{dt}$ y una derivada parcial $\frac{\partial}{\partial t}$. El último, $\frac{\partial f(s,t)}{\partial s}$, significa "cambio en $f$ al $s$ cambios y nada más lo hace". Mientras que $\frac{df(s,t)}{ds}$ significa "cambio en $f$ al $s$ cambios, y todo lo demás cambia en consecuencia". Así que usted no puede tener $u$ dependen de la $x$ y calcular un total derivado en una forma que asume la $x$ es constante.

Answer 3

Ambos están equivocados, ya que a pesar de elegir $u=x$, va a reemplazar sólo una variable $x$ $u$, dejando intacto el otro $x$. Y entonces otra vez, decide diferenciarse con respecto a los $u$ por la regla de la cadena, inicialmente tratamiento $x$ como una constante en $x^u$ y $u^x$, que otra vez está mal.

Lo que debes hacer es:

Escriba $x^x$ $e^{\ln x^x}=e^{x\ln x}$ y luego se debe diferenciar con respecto a los $x$ utilizando la regla de la cadena.

Answer 4

Otras respuestas responder bien a esta pregunta, pero supongo que otra manera de encontrar el error podría ser útil para algunos. Cuando sabes que has hecho algo mal, pero no saben lo que es, es a menudo una buena idea para tratar de utilizar el mismo método con más simples, incluso ridículamente simple, ejemplos, y ver a dónde va mal. Al menos he utilizado este método con éxito.

Vamos a tratar. ¿Qué acerca de diferenciar $x$? Que probablemente no es instructivo porque no se han separado en dos $x$s allí, así que usted realmente no puede aplicar su idea. Pero vamos a "engañar" un poco por definir $f$ a ser una función constante, decir $f(y)=1$ todos los $y$, y la diferenciación de $x f(x)$ (lo que equivale $x$ del curso). $$ \frac{dx}{dx} = \frac{d(xf(x))}{dx} = \frac{d(xf(u))}{du}\frac{du}{dx} = x \frac{df(u)}{du} \times 1 = 0. $$ Pero debido a que $f(u)$ es una constante $1$, esto sería equivalente a escribir $$ \frac{dx}{dx} = \frac{d(x\times 1)}{dx} = \frac{d(x\times 1)}{du} \frac{du}{dx} = 0 \1, $$ o para simplificar aún más, $$ \frac{dx}{dx} = \frac{dx}{du} \frac{du}{dx} = 0 \1, $$

Entonces, ¿qué salió mal y por qué? Ah! $\frac{dx}{du}$ probablemente no debería igualdad de $0$ cuando hemos definido $u=x$. Así que (como otros han señalado) en el problema original el lugar correspondiente es cuando se calcula el $\frac{d(x^u)}{du}$ si $x$ fueron una constante.

Answer 5

Su enfoque está bien, pero su ejecución no — no publicar el cálculo así que estoy adivinando, pero parece que lo hizo dos cosas mal:

• Usted asumió $x$ es constante con respecto a $u$ y viceversa, lo cual es claramente falso si $x=u$
• Se mezclan las reglas para $z^{(\text{constant})}$$(\text{constant})^z$.

Lo que queremos hacer es que

$$ \mathrm{d}(x^u) = u x^{u-1} \mathrm{d}x + \ln(x) x^u \mathrm{d} u $$

o, equivalentemente,

$$ \mathrm{d}(u^x) = x u^{x-1} \mathrm{d}u + \ln(u) x^u \mathrm{d} x $$

Lo bueno de esto es que las ecuaciones diferenciales como esta siendo cierto, no importa cómo $u$ $x$ están relacionadas. Un método para derivar tales ecuaciones es que los coeficientes pueden ser vistos como derivadas parciales; básicamente el mismo que el método descrito en esta otra respuesta.

Si $x$ $u$ son independientes, no tiene sentido preguntar por cosas como $\frac{\mathrm{d}(x^u)}{\mathrm{d}u}$, debido a $\mathrm{d}(x^u)$ simplemente no es un múltiplo de a $\mathrm{d}u$. Pero si son suficientemente fluido), tiene sentido (porque $\mathrm{d}x$ será un múltiplo de $\mathrm{d}u$).

La otra cosa buena acerca de los diferenciales es que si hacemos algo parecido a imponer la relación $x=u$, entonces la diferencial de esta ecuación también es cierto: en este caso,$\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$.

Aplicado a la primera ecuación, que nos iba a llegar

$$ \mathrm{d}(x^x) = x x^{x-1} \mathrm{d}x + \ln(x) x^x \mathrm{d} x $$ o, equivalentemente, $$ \mathrm{d}(x^x) = x^x (1 + \ln(x)) \mathrm{d}x $$

que de hecho conduce a la fórmula correcta para la derivada.