Cuestión de teoría de la medida función integrable

Question

Estoy atascado con el siguiente problema en mi curso de introducción a la teoría de la medida.

Dejemos que $(X,\mathcal{A},\mu)$ sea un espacio medido y $f:X\to \mathbb R$ sea una función integrable de Lesbegue.

(a) Demuestre que $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\mu(\{|f|\geqslant n\})=0$ .

(b) Demuestre que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\int_{|f|\leqslant n} |f|^2\,d\mu<\infty$ .

Para (a), estoy casi seguro de que hay que utilizar la desigualdad de Markov, no hay mucha más información. La única suposición es que $\int_X |f|d\mu<\infty$ . Ahora Markov da

$$n\mu(\{|f|\geqslant n\})\leqslant \int_X |f|\,d\mu<\infty,$$

pero no veo cómo proceder.

Para (b), creo que tengo que utilizar el teorema de convergencia dominada.

Cualquier sugerencia sería útil.

Answer 1

Para la parte (a) necesitamos algo más que la desigualdad de Markov. Se deduce fácilmente de $$n\mu(\{\lvert f\rvert \geqslant n\}) = \int_{\{\lvert f\rvert \geqslant n\}} n\,d\mu \leqslant \int_{\{\lvert f\rvert \geqslant n\}} \lvert f\rvert\,d\mu$$ y, por ejemplo, el lema de Fatou o el teorema de convergencia dominada porque $\lvert f\rvert\cdot \chi_{\{\lvert f\rvert \geqslant n\}}$ converge a $0$ en casi todas partes. Lo hace de forma monótona, por lo que también podemos utilizar el teorema de convergencia monótona para llegar a la conclusión $n\mu(\{\lvert f\rvert \geqslant n\}) \to 0$ .

Para la parte (b) parece que alguna variante de intercambiar el orden de la suma y la integración es la forma más directa. Como el dominio de integración depende del índice de suma, tenemos que reescribir las integrales para hacerlo. Utilicemos $$H(t) = \begin{cases} 1 &\text{if } t \geqslant 0, \\ 0 &\text{if } t < 0, \end{cases}$$ entonces la serie se puede reescribir como $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\int_X \lvert f\rvert^2\cdot H(n - \lvert f\rvert)\,d\mu\,.$$ Como todo es no negativo, se permite cambiar el orden de la suma y la integración, lo que lleva a $$\int_X \lvert f\rvert^2 \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{H(n - \lvert f\rvert)}{n^2}\,d\mu = \int_X \lvert f\rvert^2 \sum_{n \geqslant \lvert f\rvert} \frac{1}{n^2}\,d\mu\,.$$ Ahora, para cada $x > 0$ tenemos $$\sum_{n \geqslant x} \frac{1}{n^2} < \frac{2}{x}\,,$$ así que $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\int_{\lvert f\rvert \leqslant n} \lvert f\rvert^2\,d\mu \leqslant \int_{\lvert f\rvert > 0} \lvert f\rvert^2\cdot \frac{2}{\lvert f\rvert}\,d\mu = 2\int_X \lvert f\rvert\,d\mu < \infty.$$