¿Cómo mostrar $\frac{d}{d x}\left(|x|^{1/2}\right)=\frac{x}{2|x|^{3/2}}$?

Question

$$\frac{d}{d x}\left(|x|^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{x}{2|x|^{\frac{3}{2}}}$$

y también la segunda derivada $$\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\sqrt{|x|}\right)=\frac{\delta(x)}{\sqrt{|x|}}-\frac{x^{2}}{4|x|^{\frac{7}{2}}}$$

Sé que esto puede parecer básico. Pero no entiendo cómo entra el delta de Dirac (gracias por los comentarios por corregirme). ¿Es solo una forma en la que alguien ha decidido escribir el resultado para $x >0$, $x<0$ y $x=0$ de manera inteligente en una línea. ¿Es arbitrario siempre y cuando el término de Kronecker supere al otro término?

Si alguien tiene una derivación clara para esto, estaría agradecido.

EDIT: gracias por muchas de sus respuestas, he aprendido mucho. Todavía no estoy completamente seguro con la segunda derivada, la fórmula está aquí: https://www.wolframalpha.com/input/?i=second+derivative+of+%7Cx%7C%5E1%2F2, ¿está mal? Todavía creo que es probablemente correcto. Tomando algo así como. d/dx($\operatorname{sign}(x) \frac{1}{2|x|^{\frac{1}{2}}} )=1/2 ($$\frac{\delta(x)}{\sqrt{|x|}} -\frac{sign(x)*x}{2|x|^{5 / 2}})$ No sé por qué falta el primer sumando de 1/2. Sé que son distribuciones, pero ¿no puedes diferenciar aún sign(x), solo tienes que tener cuidado y al evaluar usar funciones de prueba e integrales?

Answer 1

Sea $f(x) = |x|^{1/2}$. Por supuesto, lejos de $x=0$, la respuesta de Robert Lee (sin ninguna delta de Dirac) es correcta, y simplemente tendrás $$ \begin{align*} f'(x) &= \frac{x}{2\,|x|^{3/2}} \\ f''(x) &= \frac{-1}{4\,|x|^{3/2}} \end{align*} $$ para cualquier $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ (ya que $x^2/|x|^{7/2} = 1/|x|^{3/2}$).

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Entonces, para saber si hay una delta de Dirac, debes obtener la derivada en el sentido de distribuciones. Para obtener la primera derivada, ya que $f'(x) = \frac{x}{2\,|x|^{3/2}}$ en todas partes excepto en $x=0$, vemos que $f'(x) = \frac{x}{2\,|x|^{3/2}}$ casi en todas partes. Además, dado que $|f'| = \frac{1}{2\,|x|^{1/2}}$ es localmente integrable, obtenemos que la identidad $f'(x) = \frac{x}{2\,|x|^{3/2}}$ también es válida localmente en $L^1$ y también en el sentido de distribuciones.

Esto significa que para calcular $f''$ en el sentido de distribuciones, simplemente debemos calcular la derivada de $f'$ en el sentido de distribuciones. Sea $\varphi$ una función de prueba suave con soporte compacto (digamos que $\varphi = 0$ en $[-a,a]$ para algún $a>0$). Entonces, por definición y el cálculo anterior $$ \langle f'',\varphi\rangle = \langle(f')',\varphi\rangle = -\langle f',\varphi'\rangle = -\langle \tfrac{x}{2\,|x|^{3/2}},\varphi'\rangle $$ y podemos escribir esto como una integral ya que ambas funciones son localmente integrables. Por lo tanto $$ \begin{align*} \langle f'',\varphi\rangle &= -\int_{\mathbb{R}} \tfrac{x}{2\,|x|^{3/2}}\,\varphi'(x)\,\mathrm{d}x = -\int_{-a}^a \tfrac{x}{2\,|x|^{3/2}}\,\varphi'(x)\,\mathrm{d}x \\ &= -\int_{-a}^a \tfrac{x}{2\,|x|^{3/2}}\,(\varphi(x)-\varphi(0))'\,\mathrm{d}x \end{align*} $$ Dado que $\varphi(x)-\varphi(0)$ se anula en $x=0$ y aún mejor, $|\varphi(x)-\varphi(0)| ≤ C\,|x|$ (por el teorema fundamental del cálculo, con $C= \sup |\varphi'|$ por ejemplo), podemos integrar por partes y usar el valor de $f''$ que ya se calculó para $x≠0$ para obtener $$ \begin{align*} \langle f'',\varphi\rangle &= \left[-\tfrac{x}{2\,|x|^{3/2}}\,(\varphi(x)-\varphi(0))\right]_{-a}^a - \int_{-a}^a \tfrac{1}{4\,|x|^{3/2}}\,(\varphi(x)-\varphi(0))\,\mathrm{d}x \\ &= - \int_{-a}^a \tfrac{1}{4\,|x|^{3/2}}\,(\varphi(x)-\varphi(0))\,\mathrm{d}x \end{align*} $$ dado que $\varphi(a) = \varphi(-a) = 0$. La distribución $\mathrm{pf}(\frac{1}{|x|^a})$ para $a\in(1,2)$ se conoce como la parte finita de $\frac{1}{|x|^a}$ y se define exactamente por $$ \begin{align*} \langle \mathrm{pf}(\tfrac{1}{|x|^a}),\varphi\rangle &= \int_{\mathbb{R}} \tfrac{1}{|x|^{a}}\,(\varphi(x)-\varphi(0))\,\mathrm{d}x \end{align*} $$ por lo que en el sentido de distribuciones $$ f'' = \frac{-1}{4} \mathrm{pf}\left(\frac{1}{|x|^{3/2}}\right) $$

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Observaciones: No sé de dónde sacaste la fórmula con una delta de Dirac, pero es obviamente incorrecta, ya que no tiene sentido $\frac{\delta(x)}{\sqrt{x}}$.

Incluso si es cierto que $\mathrm{sign}' = \delta_0$ en el sentido de distribuciones, el siguiente cálculo $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{x}{|x|^{3/2}}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\mathrm{sign}(x)\frac{1}{|x|^{1/2}}\right) = 2\delta_0(x)\left(\frac{1}{|x|^{1/2}}\right) + \mathrm{sign}(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{|x|^{1/2}}\right) $$ no es válido ya que no se pueden multiplicar distribuciones singulares en general.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, pero para el caso de la función absoluta definida en los números reales, esto podría ayudar.

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Dado que $|x|$ es no diferenciable solo en $0$, todas las derivadas que calculemos tendrán dominio $D \subseteq\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Si escribimos $|x|=\sqrt{x^2}$ vemos que $$ \frac{d}{dx} \left(|x| ^\frac{1}{2} \right) = \frac{d}{dx} \left(x^2\right)^\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\left(x^2\right)^{-\frac{3}{4}} \left[\frac{d}{dx}x^2 \right]= \frac{1}{4}\left(x^2\right)^{-\frac{3}{4}}2x = \frac{x}{2\left(x^2\right)^\frac{3}{4}} = \frac{x}{2\left(\sqrt{x^2}\right)^\frac{3}{2}} = \frac{x}{2|x|^\frac{3}{2}} $$ En cuanto a la segunda parte $$ \frac{d^2}{dx^2} \left(|x| ^\frac{1}{2} \right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2\left(x^2\right)^\frac{3}{4}}\right) = \frac{2\left(x^2\right)^\frac{3}{4} - 2x\left(\frac{3}{4}(x^2)^{-\frac{1}{4}} (2x)\right)}{4\left(x^2\right)^\frac{3}{2}} = \frac{2\left(x^2\right)^\frac{3}{4}}{4\left[\left(x^2\right)^\frac{3}{4}\right]^2} - \left(\frac{3}{4}\right)\frac{4x^2}{4\left(x^2\right)^\frac{3}{2}(x^2)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2\left(x^2\right)^\frac{3}{4}}\left(\frac{2x^2}{2x^2}\right) - \frac{3x^2}{4\left(x^2\right)^\frac{7}{4}} = \frac{2x^2 -3x^2} {4\left(x^2\right)^\frac{7}{4}} = -\frac{x^2}{4 |x|^\frac{7}{2}} $$ Ahora, dado que el delta de Dirac convierte su entrada en $0$ si $x \neq 0$, y el dominio en el que estamos trabajando no tiene a $0$, nuestra última respuesta será igual a $$ -\frac{x^2}{4 |x|^\frac{7}{2}} = 0 -\frac{x^2}{4 |x|^\frac{7}{2}} = \frac{\delta(x)}{\sqrt{|x|}} -\frac{x^2}{4 |x|^\frac{7}{2}} $$ ya que $\frac{\delta(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ para todos los $x \in D$.

Sospecho que podría haber una definición más general del valor absoluto con la que puedas trabajar para obtener directamente el delta de Dirac, pero no estoy familiarizado con ella. ¡Espero que esto ayude!

Answer 3

$$\sqrt{\pm x}\to\pm\frac1{2\sqrt{\pm x}}$$ entonces

$$\sqrt{|x|}\to\text{sgn}(x)\frac1{2\sqrt{|x|}}.$$

Para la segunda derivada, puedes usar el mismo método. Pero como hay una discontinuidad, puedes representar su derivada con un $\delta$.

Answer 4

Puedes dividir tu función $f(x):=|x|^{1/2}$ en si $x\geq0$ o $x<0$. Si es el primer caso, tienes $$\frac{d}{dx} (x^{1/2})=\frac12 x^{-1/2}=\frac12\frac{x}{x^{3/2}}=\frac12\frac{x}{|x|^{3/2}} $$ En el segundo $$ \frac{d}{dx}\big((-x)^{1/2}\big) = -\frac12\big((-x)^{-1/2}\big)=-\frac12 |x|^{1/2}=-\frac12\frac{|x|}{|x|^{3/2}}=\frac{1}{2}\frac{x}{|x|^{3/2}} $$

Para la segunda integral de segundo orden puedes proceder de manera similar. Puede ser útil notar que la primera derivada es discontinua en $x=0$ (una especie de división por $0$).

Para $x>0$, $$f''(x) = -\frac14 x^{-3/2}=-\frac14\frac{x^2}{|x|^{7/2}}$$ Para $x<0$ $f'(x)=\frac{1}{2}\big((-x)^{-1/2}\big)$ y por lo tanto, $$f''(x)=-\frac{1}{4}(-x)^{-3/2} = -\frac14\frac{x^2}{|x|^{7/2}}$$

En $x=0$, $f''$ no está definido, pero $\lim_{x\rightarrow0}f''(x)=-\infty$. Por lo tanto, para reflejar eso (de una manera bastante pedante) se puede escribir

$f''(x)=-\frac{\delta(x)}{|x|^{1/2}}-\frac{1}{4}\frac{x^2}{|x|^{7/2}}$

Aquí $\delta(x)=1$ si $x=0$ y $\delta(x)=0$ en otro caso. Cualquier factor constante en el $\delta$ producirá la idea de que $f''$ no está definido en $x=0$.

Answer 5

Primera Derivada

Para $x$ real, $$ |x|^2=x^2\tag1 $$ por lo que $$ 2|x|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|=2x\tag2 $$ Por lo tanto, lejos del $0$, tenemos $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|=\frac{x}{|x|}\tag3 $$ La regla de la cadena entonces dice $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|^{1/2} &=\frac12|x|^{-1/2}\frac{x}{|x|}\tag{4a}\\ &=\frac12\frac{x}{|x|^{3/2}}\tag{4b} \end{align} $$

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Segunda Derivada

Aproximando $|x|^{1/2}\approx\left(\epsilon^2+x^2\right)^{1/4}$, obtenemos $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\left(\epsilon^2+x^2\right)^{1/4} =\frac{3\epsilon^2-\left(\epsilon^2+x^2\right)}{4\left(\epsilon^2+x^2\right)^{7/4}}\tag5 $$ Considerando $$ \begin{align} \lim_{\epsilon\to0}\int_{\mathbb{R}} f(x)\,\frac{3\epsilon^2-\left(\epsilon^2+x^2\right)}{4\left(\epsilon^2+x^2\right)^{7/4}}\,\mathrm{d}x &=\lim_{\epsilon\to0}\int_{|x|\ge\epsilon^{2/3}} f(x)\,\frac{3\epsilon^2-\left(\epsilon^2+x^2\right)}{4\left(\epsilon^2+x^2\right)^{7/4}}\,\mathrm{d}x\tag{6a}\\ &+\lim_{\epsilon\to0}\int_{|x|\lt\epsilon^{2/3}} f(x)\,\frac{3\epsilon^2-\left(\epsilon^2+x^2\right)}{4\left(\epsilon^2+x^2\right)^{7/4}}\,\mathrm{d}x\tag{6b}\\ &=-\frac14\int_{\mathbb{R}} f(x)\,|x|^{-3/2}\,\mathrm{d}x\tag{6c}\\[3pt] &+\lim_{\epsilon\to0}\int_{|x|\lt\epsilon^{-1/3}} f(\epsilon x)\,\frac{3-\left(1+x^2\right)}{4\left(1+x^2\right)^{7/4}}\,\epsilon^{-1/2}\,\mathrm{d}x\tag{6d} \end{align} $$ Note que para que la integral en $\text{(6c)}$ converja, debemos tener $f(0)=0$.

Veamos el tamaño de la integral en $\text{(6d)}$. Dado que $\frac{3-\left(1+x^2\right)}{4\left(1+x^2\right)^{7/4}}$ es par, solo necesitamos preocuparnos por la parte par de $f$, que está acotada por $cx^2$ cerca de $x=0$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \left|\int_{|x|\lt\epsilon^{-1/3}} c(\epsilon x)^2\,\frac{3-\left(1+x^2\right)}{4\left(1+x^2\right)^{7/4}}\,\epsilon^{-1/2}\,\mathrm{d}x\right| &\le\left.\frac{c}4\epsilon^2|x|^3\epsilon^{-1/2}\right|_{-\epsilon^{-1/3}}^{+\epsilon^{-1/3}}\tag{7a}\\ &=\frac{c}2\epsilon^2\epsilon^{-1}\epsilon^{-1/2}\tag{7b}\\[6pt] &=\frac{c}2\epsilon^{1/2}\tag{7c} \end{align} $$ Así, bajo la condición de que $f(0)=0$, $$ \int_{\mathbb{R}} f(x)\,\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\sqrt{|x|}\,\mathrm{d}x =-\frac14\int_{\mathbb{R}} f(x)\,|x|^{-3/2}\,\mathrm{d}x\tag8 $$